Динамическое программирование беллман р: Прикладные задачи динамического программирования, Беллман Р., Дрейфус С., 1965

Содержание

О решении задачи оптимизации методом динамического программирования

Приводится теоретическое обоснование метода динамического программирования, основанного на критерии оптимальности Р. Беллмана и алгоритм реализации этого математического метода в решении задачи оптимизации, связанной с выбором оптимального режима ведения грузового поезда локомотивами дизельной тяги на виртуальном участке железной дороги.

The theoretical substantiation of the dynamic programming method based on the R. Bellman optimality criterion and the algorithm for the implementation of this mathematical method in solving the optimization problem associated with the choice of the optimal mode of driving a freight train by diesel — powered locomotives on a virtual section of the railway are given.

Ключевые слова: исследование, оптимизация, метод, динамическое программирование, принцип оптимальности, решение, выбор, режим, теория.

Keywords: investigation, optimization, method, dynamic programming, optimality principle, decision, choice, mode, theory.

Метод динамического программирования основан на двух гипотезах [3] — о наличии оптимального процесса при переходе объекта из начального состояния Оо в некоторое конечное О1 и наличии непрерывности всюду, кроме точки О1 и дифференцируемости функции B(О) в частных производных, то есть

Из рассмотрения процесса перехода из точки Оо фазового пространства в точку О1 с учётом промежуточного состояния О(Оа) можно получить

                                                                     (1)

А затем, переходя к пределу при Oа = Oао находим

                                                                             (2)

Производная левой части аналитического выражения (2) действительно существует, так как функции В(О) и О(Оа) дифференцируемы и вычисляются по формуле полной производной, а именно:

и неравенство (2) принимает такой вид

Точки Оо и Ро были взяты произвольно, поэтому для любой точки О фазового пространства и любой точки Р в области возможных управлений, то есть для

Ру выполняется соотношение

                                     (3)

Если взять оптимальный процесс O(Oа), Р(Oа) перевода объекта из Oо в O1 и Oio , учитывая вышеизложенное, получим следующие равенство

                            (1. 9)

Вводя в рассмотрение функцию

                               (4)

Получим

                                                                          (5)

для всех точек О  1 и Р

                                                           (6)

для любого оптимального процесса О(Оа), Р(Оа).

Для Оа = Оао получим А(Оо, Р(Оао) = 1; в сопоставлении с неравенством (6) получим соотношение maxA(O,P) = 1 для любой точки О  1 или что тоже самое

                                               (7)

для любой точки  О  1.

Соотношение (7) называется уравнением Ричарда Беллмана. Метод динамического программирования (ДП) или что то же самое (7) содержит некоторую информацию об оптимальных процессах и поэтому может быть использован для их отыскания.

Однако применение этого метода требует нахождения не только оптимальных управлений Р(Оа), но и функций В О), так как эта функция входит в соотношение (7), а само уравнение Беллмана представляет собой уравнение в частных производных относительно функции В, осложнённой ещё знаком максимума. Главным же недостатком этого метода является предположение о возможности выполнения вышеуказанных гипотез, хотя оптимальные управления и функции

В нам заранее неизвестны. Указанные выше гипотезы содержат предположение о неизвестной функции, а проверить выполнение этих гипотез по уравнениям движения объекта невозможно.

Кроме того, после решения оптимальной задачи методом динамического программирования не всегда оказывается, что функция В(О) действительно является непрерывно дифференцируемой, в связи с чем применение изложенного метода становится необоснованным. Однако, во многих случаях, методом динамического программирования можно пользоваться, как эвристическим средством с применением численных методов решения, что и было сделано в работах [4-7 и другие].

Ниже приводим методику и результат решения задачи по выбору оптимального режима вождения грузовых поездов тепловозами серии 3ТЭ10М на виртуальном участке железной дороги протяженностью 37,5 километров с учётом исходных данных, обозначенных в [1], а именно: масса состава грузового поезда Q = 3750 т, нагрузка на ось колёсной пары qo = 20,0 т/ось и время хода грузового поезда по участку tх = 38,5 мин.

Решение поставленной задачи осуществляем графическим методом [2], опираясь на принцип оптимальности [3], из которого вытекает, что независимо от способа, приводимого объект в данное начальное состояние, дальнейшее его поведение должно быть оптимальным относительно первоначального состояния и управления.

Тогда, условие оптимальности процесса по выбору режима ведения поезда для N — го шага варьирования упомянутого режима можно записать в виде

                                 (8)

где Е – эффективность процесса, то есть расход натурного дизельного топлива тепловозом на шаге варьирования режима ведения поезда, кг.

Для расчёта допустимую область фазовых координат (

S,V) каждого перегона заданного участка пути разбиваем на узловую решётку, в которой допустимый диапазон скоростей движения представляем в виде скоростной сетки с шагом варьирования по скорости движения ΔV = 5…10км/ч.

Допустимый диапазон по координате путь S — в виде сетки, разделённой на шаги варьирования режимов ln, равные длине элемента профиля пути.

Расчёт начинаем с конца заданного участка пути на последнем N — м шаге варьирования режимов. Из каждой начальной точки узловой решетки N — го шага строим траектории с попаданием в конечную  точку узловой решётки этого же N — го шага с координатами (

Sk,Vk), подсчитываем величину расхода топлива (критерий оптимальности) Е для всех траекторий N — го шага. Запоминаем величину критерия оптимальности Е и позиции контроллера машиниста, соответствующие этим траекториям. Затем из начальных точек узловой решетки N-1 — го шага строим траектории с попаданием в конечные точки узловой решётки этого шага, что будет идентично начальным точкам узловой решетки N-1 — го шага и, далее, подсчитываем величину расхода топлива Е для всех траекторий N-1 — го шага. Траектории, полученные на
N
-1 — м и N — м шаге, удовлетворяющие условию оптимальности (7), оставляем и соответственно, запоминаем критерий оптимальности (расход топлива) Е и позиции контроллера машиниста для вновь полученной условно — оптимальной траектории. Аналогичным образом выполняем расчёты на последующих шагах варьирования режимов и получаем столько условно – оптимальных траекторий, сколько точек в «базовой» узловой решётке фазовых координат (S,V). Затем, в качестве оптимальной траектории (режима ведения поезда) для всего перевозочного процесса в целом и на каждом шаге варьирования, принимаем ту, которая имеет минимальное значение критерия оптимальности Е и удовлетворяет условию выполнения времени хода поезда по перегонам (в противном случае, весь процесс расчёта повторяется вновь).

В процессе решения поставленной задачи и сказанного выше автором были получены следующие значения параметров оптимального режима ведения грузового поезда на участке счёта: касательная механическая работа локомотива Ак = 2576,5 кН км, затраты механической работы на торможения Ат = 466,3 кН км и общий расход натурного дизельного  топлива (критерий оптимальности) Е = 243,7 кг. При этом показатели, характеризующие оптимальный режим ведения грузового поезда, составили: η = 0,302 — к.п.д. силовой цепи; α = 1,08 — показатель совершенства траектории скорости движения; β = 0,181 — показатель затрат энергии на торможения.

В результате проведённого исследования автором изложено теоретическое толкование одного из математических методов оптимального управления – динамическое программирование и показан пример практической реализации этого метода при выборе оптимального режима вождения грузовых поездов тепловозами серии 3ТЭ10М на виртуальном участке железной дороги.

 

Список литературы:

  1. Аблялимов О.С., Кудряшов В.С., К исследованию режимов вождения грузовых поездов электровозами [Текст] / О. С. Аблялимов, В. С. Кудряшов // IX межвузовская научно — практическая конференция ТашИИТ / Ташкентский ин-т. инж. ж-д транспорта. – Ташкент, 2011. – С. 35 – 38.
  2. Аблялимов О. С. О методах исследования перевозочной работы локомотивов [Текст] / О. С. Аблялимов // Республиканская научно – техническая конференция с участием зарубежных учёных, посвящённая 80-летию ТашИИТ «Ресурсосберегающие технологии на железнодорожном транспорте» / Ташкентский ин-т. инж. ж-д транспорта. – Ташкент, 2011. – С. 79 – 85.
  3. Беллман Р. Динамическое программирование [Текст] / Р. Беллман. — М.: Иностранная литература, 1960, 400 с.
  4. Босов А. А. Методы решения некоторых задач оптимальных тяговых расчётов на ЭЦВМ. Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук. ДИИТ, Днепропетровск, 1968.
  5. Ерофеев Е. В. Определение оптимального режима движения поезда при заданном времени хода [Текст] / Е. В. Ерофеев // «Вестник ВНИИЖТ» / Всесоюзный науч-иссл. ин-т. ж-д транспорта. – М.: Трансжелдориздат, 1969, № 1. – С. 54 – 57.
  6. Почаевец Э. С. Расчёт оптимальных программ автоматического ведения поезда. Автореферат на соискание учёной степени кандидата технических наук. МИИТ, М., 1967.
  7. Сидельников В. М. Выбор оптимальных режимов управления локомотивом с использованием ЭЦВМ [Текст] / В. М. Сидельников // Научный журнал «Вестник ВНИИЖТ» / Всесоюзный науч-иссл. ин-т. ж-д транспорта. – М.: Трансжелдориздат, 1965, № 2. – С. 52 – 58.

Динамическое программирование в прикладных задачах, допускающих сокращение перебора вариантов | Карпов

1. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ., 1960. 402 с.

2. Ляховский В.Н., Михалевич В.С., Быков В.И. Определение на ЭВМ наивыгоднейшего положения красной линии продольного профиля на вольном ходу. Транспортное строительство. 1962;4:41-43.

3. Михалевич В.С., Шор Н.З. Математические основы решения задачи выбора оптимального очертания продольного профиля. Труды Всесоюзного НИИ транспортного строительства. 1964;51:12-14.

4. Михалевич В.С. Последовательные алгоритмы оптимизации и их применение. Кибернетика. 1965;1:45-56.

5. Михалевич В.С., Быков В.И., Сибирко А.Н. К вопросу проектирования оптимального продольного профиля дороги. Транспортное строительство. 1975;6:39-40.

6. Космин В.В., Струченков В.И., Фрадков Е.Б. Проектирование продольного профиля дороги на ЭВМ. Транспортное строительство. 1971;4:38-42.

7. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965. 460 с.

8. Лежнев А.В. Динамическое программирование в экономических задачах. М.: Бином, 2010. 176 c.

9. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. М.: Юрайт, 2012. 430 с. ISBN 978-5-9916-1849-6

10. Cavagnari G., Marigonda A., Piccoli B. Generalized dynamic programming principle and sparse meanfield control problems. J. Math. Anal. Appl. 2020;481(1): Article No. 123437. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2019.123437

11. Ramahatana F., David M. Economic optimization of micro-grid operations by dynamic programming with real energy forecast. J. Phys. Conf. 2019;1343(1): Article No. 012067. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1343/1/012067

12. Firdausiyah N., Taniguchi E., Qureshi A.G. Impacts of Urban Consolidation Centres for Sustainable City Logistics Using Adaptive Dynamic Programming Based Multi-Agent Simulation. In: IOP Conference Series: Earth and Environmental Science. 2019;328(1): Article No. 012071. https://doi.org/10.1088/1755-315/328/1/012071

13. He S., Shin H.-S., Tsourdos A. Computational guidance using sparse Gauss-Hermite quadrature differential dynamic programming. IFAC-PapersOnLine. 2019;52(12):13-18. https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2019.11.062

14. He S., Guo S., Chen, K., Deng L., Liao Z., Xiong F., Yin J. Dataset for reservoir im-poundment operation coupling parallel dynamic programming with importance sampling and suc-cessive approximation. Data in Brief. 2019;26: Article No. 104440. https://doi.org/10.1016/j.dib.2019.104440

15. Fayaed S.S., Fiyadh S.S., Khai W.J., Ahmed A.N., Afan H.A., Ibrahim R.K. Improving dam and reservoir operation rules using stochastic dynamic programming and artificial neural network integration model. Sustainability. 2019;11(19):5367. https://doi.org/10.3390/su11195367

16. Işik H., Sintunavarat W. An investigation of the common solutions for coupled systems of functional equations arising in dynamic programming. Mathematics. 2019;7(10):977. https://doi.org/10.3390/math7100977

17. Jia S., Sun J.Q., Ding Q. Flutter Control of a Two-dimensional Airfoil based on Adaptive Dynamic Programming. In: IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2019;531(1): Article No. 012033. https://doi.org/10.1088/1757-899X/531/1/012033

18. Kozlowski K.M., Sharma G.K., Chen J.J., Qi L., Osann K., Jing J.C., Ahuja G.S. Dynamic programming and automated segmentation of optical coherence tomography images of the neonatal subglottis: Enabling efficient diagnostics to manage subglottic stenosis. J. Biomed. Opt. 2019;24(9):096001. https://doi.org/10.1117/1.JBO.24.9.096001

19. Durdán, M., Kačur, J., Laciak, M., Flegner, P. Thermophysical properties estimation in annealing process using the iterative dynamic programming method and gradient method. Energies. 2019;12(17):3267. https://doi.org/10.3390/en12173267

20. Wang P., Peng Y., Gao X.-J., Gao H.-H. Train Speed Trajectory Optimization using Dynamic Programming with speed modes decomposition. In: IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2019;569(4):042019. https://doi.org/10.1088/1757-899X/569/4/042019

21. Ikeda S. Ooka, R. Comparison of metaheuristics and dynamic programming for district energy optimization. In: IOP Conference Series: Earth and Environmental Science. 2019:294(1):9. https://doi.org/10.1088/1755-1315/294/1/012040

22. Narendra Kumar P.V., Chengaiah C., Prasad J.V.K. Fuzzy dynamic programming based solarthermal load scheduling of Andhra Pradesh power generation using Matlab. International Journal of Recent Technology and Engineering (IJRTE). 2019;8(2S8):1242-1247. https://doi.org/10.35940/ijrte.B1046.0882S819

23. Карпов Д.А., Струченков В.И. Динамическое программирование как метод сплайн-аппроксимации в САПР линейных сооружений. Российский технологический журнал. 2019;7(3):77-88. https://doi.org/10.32362/2500-316X-2019-7-3-77-88

24. Романовский И.В. Дискретный анализ. СПб,: Невский Диалект, БХВ – Петербург, 2003. 320 с. ISBN 5-7940-0114-3

25. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. М.: КноРус, 2010. 191 с. ISBN 978-5-406-00682-5

26. Косоруков О.А., Мищенко А.В. Исследование операций: Учебник для вузов. М.: Экзамен, 2013. 445 c. ISBN 5-94692-363-3

27. Струченков В.И. Использование параболических сплайнов в САПР линейных сооружений. Российский технологический журнал. 2018;6(1):40-52. https://doi.org/10.32362/2500-316X-2018-6-1-40-52

Динамическое программирование в решении задачи оптимального размещения электронных компонентов системы управления

В статье изложен способ повышения эффективности проектирования электромонтажных схем системы управления технологическим оборудованием с использованием метода Р. Беллмана. Разработана математическая модель, позволяющая наилучшим образом разместить электронные компоненты электромонтажной схемы системы управления технологическим оборудованием. Результаты математического моделирования, позволяют сократить временные и финансовые затраты, повысить обоснованность принимаемых решений.

Ключевые слова: Динамическое программирование, принцип оптимальности Р. Беллмана, сетевая модель, метод Р. Беллмана, состояние системы, траектория, шаговое управление, рекуррентное уравнение, эффективность проектирования, математическое моделирование, математическая модель оптимизации.

Проектирование электромонтажных схем с наименьшими временными и финансовыми издержками является актуальной задачей. Динамическое программирование позволяет повысить эффективность проектирования электромонтажных схем систем управления технологическим оборудованием.

Динамическое программирование возникло в 1951–1953 годах благодаря работам Р. Беллмана [1, с. 158]. В основе динамического программирования лежит принцип оптимальности Р. Беллмана, заключающийся в замене решения исходной многомерной задачи последовательностью задач меньшей размерности. Принцип Р. Беллмана используется для принятия решений в многоэтапных процессах и формулируется следующим образом: если в каждом из состояний дальнейшее поведение системы не зависит от того, как она попала в это состояние, то дальнейшая траектория должна быть оптимальной. Под траекторией понимается последовательность состояний, в которых находится система [2, с. 171].

В каждом из состояний системы известны воздействия, последствия и затраты на переход из одного состояния в другое. Пусть  шаговое управление на  этапе, , n — количество этапов. Решение задачи сводится к определению последовательности воздействий на состояние системы  при которой суммарные затраты минимальны

где  — затраты на  шаге.

В соответствии с принципом оптимальности Р. Беллмана  выбираются таким образом, чтобы суммарные затраты на последующие этапы были минимальны. Суммарные затраты зависят от состояния  и складываются из затрат на  шаге  и на последующих шагах. Суммарные затраты на все этапы обозначим , тогда оптимальное управление на каждом шаге определяется по рекуррентному уравнению динамического программирования [2, с. 173].

,

где  — состояние системы;

 — затраты на  этапе;

 — затраты на следующем этапе.

Рекуррентное уравнение динамического программирования выражает затраты на все оставшиеся этапы из любого состояния  через затраты на данном  и на всех последующих шагах . Для последнего шага затраты рассчитываются по формуле

,

где  — затраты на последнем шаге n [2, c. 174].

Разработаем математическую модель динамического программирования оптимального размещения электронных компонентов на электромонтажной панели системы управления технологическим оборудованием.

Постановка задачи. Имеется конечное множество электронных компонентов системы управления технологическим оборудованием и известны первоочередность и оценка эффективности (полезность) размещения электронного компонента на электромонтажной панели. Необходимо разместить электронные компоненты на панели таким образом, чтобы суммарный эффект (полезность) был максимальным.

Размещение электронных компонентов на панели системы управления — многоэтапный процесс. Решение задачи определяется методом динамического программирования (метод Р. Беллмана).

Пусть  — электронный компонент системы управления технологическим оборудованием ( — пустой электронный компонент), ,  — уникальное место размещения электронного компонента, ,  — бинарная переменная (=1 —  электронный компонент размещен на  месте, иначе =0). Оценка эффективности (полезность)  размещения  электронного компонента на  месте размещения.

Математическая модель оптимального размещения электронных компонентов системы управления имеет вид

 Целевая функция

при ограничениях

Ограничение 1 обеспечивает размещение одного электронного блока на панели электромонтажной схемы системы управления технологическим оборудованием на  шаге.

Ограничение 2 обеспечивает уникальность места расположения электронного компонента на электромонтажной схеме системы управления.

Ограничение 3 налагает неотрицательность на искомые переменные.

Ограничение 4 налагает дискретность на искомые переменные.

Множество  сформировано в результате решения задачи оптимизации структуры электромонтажной схемы системы управления модульной компрессорной станцией, выпускаемой ОАО “Курганхиммаш” [3, c. 92].

Множество  ранжировано. Это позволяет размещать в первую очередь значимые и ответственные электронные компоненты на электромонтажной панели системы управления.

Оценка эффективности (полезность)  размещения  электронного компонента на  месте размещения, ,  представляет интегрированный показатель, учитывающий количественные и качественные характеристики электронных компонентов системы управления. Например, размеры и конструктивные особенности электронных компонентов, удобство монтажа и обслуживания, требования техники безопасности и т.  д.

На рис.1 представлена сетевая модель задачи оптимизации размещения электронных компонентов системы управления.

Рис. 1 Декомпозиция задачи оптимизации размещения электронных компонентов системы управления на n этапов

Динамическое программирование определяет оптимальное решение n-мерных задач путем ее декомпозиции на n этапов. Вычислительное преимущество такого подхода состоит в том, что решается одномерная оптимизационная задача вместо n — мерной задачи. Для решения задач методом динамического программирования используются рекуррентные алгоритмы прямой и обратной прогонки. В прямом алгоритме вычисления проводятся последовательно от первого этапа до последнего. В обратном алгоритме вычисления проводятся от последнего этапа до первого.

Если задано начальное состояние управляемой системы, то задача решается в обратном направлении, а если конечное, то в прямом. Если заданы как начальное, так и конечное состояния, то задача усложняется [1, c. 173].

С вычислительной точки зрения алгоритм обратной прогонки более эффективный, чем алгоритм прямой прогонки [4, c. 445].

Модели динамического программирования включают три основных элемента:

1.      Определение этапов.

2.      Определение на каждом этапе вариантов решения.

3.      Определение состояний на каждом этапе [4, c.446].

Результаты проведенных исследований позволили сделать выводы.

1.                                 Разработана математическая модель динамического программирования размещения электронных компонентов электромонтажной схемы системы управления модульной компрессорной станцией, выпускаемой ОАО “Курганхиммаш”.

2.                                 Математическая модель позволяет сократить затраты и сроки проектирования электромонтажной схемы. Повысить обоснованность принимаемых решений.

Литература:

1.                                    Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в экономике.  — СПб.: Издательство «Питер», 2000. — 208 с.

2.                                    Струченков В. И. Методы оптимизации. Основы теории, задачи, обучающие компьютерные программы: Учебное пособие/В. И. Струченков. — М.: Издательство «Экзамен», 2005. — 256 с.

3.                                    Семахин А. М., Баталов И. С. Математическая модель оптимизации структуры электромонтажной панели системы управления. Ежемесячный научный журнал “Молодой ученый” № 4 (51). — Чита, ООО «Издательство молодой ученый», 2013. — с.91–94.

4.                                    Таха Х. А. Введение в исследование операций. 7-е издание: Пер. с англ. М.: Издательский дом “Вильямс”, 2005–912 c.

Использование динамического программирования для проектирования горного производства при ограниченных ресурсах

10. Silvano M., Paolo T. Knapsack problems. – Great Britain: Wiley, 1990. – 306 p.

11. Kellerer, H., Pferschy, U., Pisinger, D. Knapsack Problems – Springer Sci-

ence+Business Media, 2004. – 548 p.

12. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Иностранная литература,

1960. – 400 с.

13. Скиена, С. Алгоритмы. Руководство по разработке. СПб: БХВ-Петербург, 2011.

– 720 с.

14. Хорольский, А.А., Гринев, В.Г. Выбор сценария освоения месторождений по-

лезных ископаемых. Геология и охрана недр. 2018. №3 (68). С. 68–75.

15. Ніколаєв П. П. Вдосконалення технології механізованого видобутку вугілля на

основі оцінки рівня взаємозв’язку типів очисного обладнання: автореф. дис. … канд. техн.

наук: спец. 05.15.02 «Підземна розробка родовищ корисних копалин» / П. П. Ніколаєв; НАН

України, Ін-т фізики гірничих процесів. Донецьк. 2014. 21 с.

16. Хорольский А.А. Выбор комплексов горно-шахтного оборудования на основе

теории графов / А.А. Хорольский, В.Г. Гринев, В.Г. Сынков // Науковий вісник НТУУ

«КПІ». Серія: «Гірництво». 2016. № 31. С.57–64.

17. Сынков В. Г., Гринев, В.Г., Хорольский, А.А. Оценка уровня взаимосвязи

очистного оборудования в составе механизированного комплекса. Наукові праці Донецького

національного технічного університету. Серія: «Інформатика, кібернетика, обчислювальна

техніка»: зб. наук. праць. ДВНЗ ДонНТУ. – Красноармійськ, 2016. № 22. С. 124–132.

18. Сынков, В.Г., Гринев, В.Г., Хорольский, А.А. Применение базовых алгоритмов

оптимизации для выбора очистного оборудования. Наукові праці Донецького національного

технічного університету. Серія: «Інформатика, кібернетика, обчислювальна техніка»: зб.

наук. праць. ДВНЗ ДонНТУ. – Красноармійськ, 2016. № 23. С. 115–123.

19. Гринев, В.Г., Хорольский, А.А. Система поддержки принятия решений при

разработке месторождений полезных ископаемых. Горно-геологический журнал. 2017. № 3

(51)–№ 4 (52). С.18–24.

20. Хорольский, А.А. Исследование структуры горно-шахтного оборудования с

применением графов и сетевых моделей / А. А. Хорольский, В.Г. Гринев // Матеріали

міжнародної конференції «Сучасні інноваційні технології підготовки інженерних кадрів для

гірничої промисловості і транспорту 2017» (17–18 квітня 2017 р.). Дніпро : Національний

гірничий університет, 2017. – С. 72–82.

21. Hrinov, V.G., Khorolskyi, A.A. Improving the Process of Coal Extraction Based on

the Parameter Optimization of Mining Equipment. E3S Web of Conferences, Ukrainian School of

Mining Engineering. Vol. 60. pp. 1-10. https://doi.org/10.1051/e3sconf/20186000017.

22. Хорольский А.А. Сетевые модели как инструмент повышения организационно

технологической надежности производства / А.А. Хорольский, В.Г. Гринев // Материалы V

Международной научно-практической интернет-конференции «Инновационные технологии

в образовании, науке и производстве» (18-19 ноября 2017 г). Минск: Белорусский нацио-

нальный технический университет. Режим доступа: https://rep. bntu.by/handle/data/36360.

23. Saaty, T. An innovative orders — of-magnitude approach to AHP-based Mutli-criteria

decision making: Prioritizing divergent intangible humane acts / T. Saaty, Shang J. // European

Journal of Operational Research. – 2014. – Vol. 214(3). – pp. 703-715.

24. Vladyko, O., Kononenko, M., & Khomenko, O. (2012). Imitating modeling stability

of mine workings. Geomechanical Processes During Underground Mining, 147-150.

https://doi.org/10.1201/b13157-26.

25. Khomenko, O., Kononenko, M., & Myronova, I. (2017). Ecological and technologi-

cal aspects of iron-ore underground mining. Mining Of Mineral Deposits, 11(2), 59-67.

https://doi.org/10.15407/mining11.02.059.

26. Shi, Q., & Erhan, K. (2016). New graph-based algorithms to efficiently solve large

scale open pit mining optimization problems. Expert Systems with Applications, 43(1), 59-65.

https://doi. org/10.1016/j.eswa.2015.08.044.

Динамическое программирование – давайте разберёмся

Динамическое программирование – это метод решения сложных задач путём разбиения их на более простые подзадачи. Как правило, чтобы решить поставленную задачу, требуется решить отдельные части задачи (подзадачи), после чего объединить решения подзадач в одно общее решение.

Ричард Беллман
(1920–1984)

Американский математик Ричард Беллман (1920–1984) придумал метод решения широкого класса сложных многошаговых задач. Идея метода состоит в том, что на многошаговую задачу надо посмотреть «с конца» и при нахождении оптимальной стратегии поведения на каком-либо шаге использовать уже найденные оптимальные стратегии на последующих шагах.

Такой метод получил название метод динамического программирования, и в основе метода лежит принцип оптимальности Беллмана.

Принцип оптимальности Беллмана формулируется на первый взгляд несколько сложно: какими бы ни были начальное состояние и начальное решение, последующие решения должны составлять оптимальный курс действий по отношению к состоянию, полученному в результате первого решения. Иными словами, оптимальная стратегия зависит только от текущего состояния и цели, и не зависит от предыстории.

Попробуем разобраться в этом на первый взгляд запутанном принципе на простом примере. Пусть есть квадратная доска, например 4×4, в клетках которой записаны числа. Пусть в левом нижнем углу доски стоит фишка, которую на каждом шаге можно двигать на одну клетку вверх либо вправо. Обозначим левую нижнюю клетку Ст (старт), а правую верхнюю Фн (финиш). Нужно провести фишку из клетки Ст в клетку Фн так, чтобы сумма всех чисел в промежуточных клетках была бы наименьшей.

4

7

2

1

Фн

3

9

0

4

3

2

4

5

6

8

1

Ст

3

7

5

 

А

B

C

D

Таблица 1. Исходные данные задачи.

Для обозначения клеток в дальнейших рассуждениях введём нотацию, аналогичную шахматной – строки обозначим цифрами, а столбцы – буквами. Пусть теперь фишка находится не в начальной клете А1, а в некоторой другой (например, С3). Тогда, согласно принципу оптимальности Беллмана, каким бы образом мы не пришли в клетку С3, далее следует двигаться так, чтобы сумма чисел, встреченных на пути из С3 в D4, была бы наименьшей.

         Обозначим функцию, ставящую в соответствие клетке число, занесённое в неё, через f (например, в данном случае f(B2)=5), а функцию, ставящую в соответствие клетке минимальную сумму на пути из неё в D4 через g(x) (пока мы не знаем значение этой функции, но хотим узнать, и будем постепенно узнавать это значение для различных клеток, двигаясь справа-налево и сверху-вниз).

Рассмотрим клетки 4-й строки. Очевидно, что из каждой из них существует единственный путь в D4, а именно – двигаться всё время вправо. При этом сумма чисел в этой клетке и в клетках, которые встретятся на дальнейшем пути, равна: для С4 – 1, для В4 – 2+1=3, для А4 – 7+2+1=10.

Поскольку из каждой из этих клеток существует единственный путь в А4, то он является оптимальным (из всех возможных). Отсюда g(C4)=1, g(B4)=3, g(А4)=10. Аналогично, из клеток столбца D существует единственный путь в D4, а именно – двигаться все время вверх. Вычислим суммы чисел для этих клеток. Для D3 – 3, для D2 – 8+3=11, для D1 – 5+8+3=16. Отсюда g(D3)=3, g(D2)=11, для g(D1)=16.  

Внесём в клетки вычисленные суммы, а также стрелками покажем направления движения в соседние клетки (для клеток 4-й строки это будут стрелки вправо, а для столбца D – стрелки вверх). Теперь обратим внимание на клетку С3.

Мы уже знаем, какую сумму мы добавим, если пойдём вверх к С4 (g(С4)=1) или если пойдем вправо (g(D3)=3). Поскольку мы хотим получить как можно меньшую добавку, выбираем движение вверх и полагаем, что

g(C4)=f(C4)+min(g(C4),g(D3))=4+1=5.

4

10,→

3,→

1,→

Фн

3

   

5, ↑

3,↑

2

     

11, ↑

1

     

16, ↑

 

А

B

C

D

Таблица 2. Значение функции g и оптимальные траектории, промежуточные вычисления

Пусть для некоторой клетки значение g ещё неизвестно, но оно известно для «соседок» данной клетки сверху и справа. Тогда минимальное значение суммы по всем траекториям, начинающимся в данной клетке, равно сумме числа, стоящего в этой клетке, и минимального из двух значений функции g – от соседки сверху и соседки справа.

g(клетка)=f(клетка)+min(g(соседка сверху), g(соседка справа)).

К тому же, в зависимости от того, для какой из соседних клеток (сверху или справа) достигается минимум, помечаем стрелкой, в какую сторону следует двигаться из данной клетки.

В таблице 2 клетками, к которым можно применить данную формулу, являются В3 и С2:

g(B3)=0+min(3,5)=0+3=3, вверх; g(C2)=6+min(5,11)=6+5=11, вверх.

После этого доступными для вычисления g становятся клетки А3, В2 и С1: g(A3)=9+min(10,3)=9+3=12, вправо; g(В2)=5+min(3,11)=5+3=8, вверх; g(C1)=7+min(11,16)=7+11=18, вверх.

После этого доступными для вычисления g становятся клетки А2, В1 и наконец, А1: g(A2)=4+min(12,8)=4+8=12, вправо; g(В1)=3+min(8,18)=3+8=11, вверх; g(A1)=0+min(12,11)=11, вправо.

4

10,→

3,→

1,→

Фн

3

12, →

3, ↑

5, ↑

3,↑

2

12, →

8, ↑

11, ↑

11, ↑

1

11, →

11, ↑

18, ↑

16, ↑

 

А

B

C

D

Таблица 3. Значение функции g и оптимальные траектории, окончательные вычисления.

По таблице 3, двигаясь по стрелкам из А1 в D4, находим оптимальную траекторию: A1-B1-B2-B3-B4-C4-D4, и искомое минимальное значение суммы равно 11.

Читателю предлагается самостоятельно решить данную задачу, предположив, что кроме того из каждой клетки можно двигаться в соседнюю клетку, находящуюся по диагонали справа-сверху.

Рассмотрим ещё несколько задач, при решении которых используется метод динамического программирования.

Ханойские башни

Эдуард Люка
(1842–1891)

Головоломка с таким названием была придумана в 1883 году французским математиком Эдуардом Люка (1842–1891). Название было придумано самим Люка, чтобы придать головоломке восточно-мистический смысл и тем самым обеспечить её лучшие продажи. Внешне нанизанные друг на друга кольца действительно напоминают восточную пагоду.

Смысл головоломки состоит в следующем.

Даны три стержня, на один из которых нанизаны несколько (в первоначальной версии – восемь) колец, причём кольца отличаются размером и лежат меньшее на большем. Задача состоит в том, чтобы перенести пирамиду за наименьшее число ходов на другой стержень. За один раз разрешается переносить только одно кольцо, причём нельзя класть большее кольцо на меньшее.

Возникает два вопроса – за какое минимальное количество ходов можно переместить n колец с одного стержня на другой и как собственно это сделать?

Обозначим минимальное число ходов для головоломки с n башнями через f(n). Пусть n=1. Тогда, очевидно, нужно просто за один ход переместить одно кольцо с одного стержня на другой. Таким образом, f(1)=1.

Ханойские башни

Пусть мы уже научились перемещать n-1 колец, и искомое минимальное число шагов равно f(n-1). Тогда самое нижнее (и самое большое) кольцо нельзя переместить с А на С до тех пор, пока верхние кольца не будут переложены с А на В.

Таким образом, нужно переместить n-1 кольцо с А на В (по предположению, мы умеем это делать, и для этого понадобится f(n-1) шагов), переместить нижнее кольцо с А на С и переместить n-1 кольцо с В на С, используя освободившийся стержень А в качестве промежуточного (для этого опять же понадобится f(n-1) шагов). Таким образом, для f(n) справедливо рекуррентное соотношение: f(n)=2f(n-1)+1.

Функция, удовлетворяющая этому соотношению и начальному условию f(1)=1 имеет вид: f(n)=2n–1.

Желающие увидеть решение головоломки в динамике могут посмотреть на youtube ролик под названием «Задача о ханойской башне».

Задача выбора самой длинной возрастающей подпоследовательности

Пусть задано последовательность действительных чисел a1, a2,…,an. Подпоследовательностью данной последовательности назовём любую последовательность, которую можно получить из данной путём вычёркивания элементов. Из исходной последовательности нужно выбрать возрастающую подпоследовательность максимальной длины.

Решение.

Рассмотрим последовательность sk=a1, a2,…,ak. Возрастающую подпоследовательность данной последовательности назовём бесперспективной, если существует другая подпоследовательность не меньшей длины и с не большим последним элементом, чем данная, причём, по крайней мере, одно из неравенств строгое.

Алгоритм построения самой длинной возрастающей подпоследовательности очень простой. На каждом шаге сохраняем последовательности, которые были найдены раньше, образуем новые возрастающие подпоследовательности путём дописывания нового элемента к подпоследовательностям предыдущего шага и отбрасываем бесперспективные.

Если на некотором шаге среди подпоследовательностей окажется несколько с одинаковой длиной и одинаковыми последними элементами, то следует оставить одну (любую) из них, остальные отбросить.

Пример.

1,3,2,5,4,8,3,6,7

1-й шаг. Единственная перспективная подпоследовательность – 1
2-й шаг. Имеем две подпоследовательности – 1 и 1,3
3-й шаг. Оставляем 1, добавляем 1,2 и отбрасываем 1,3
4-й шаг. 1;   1,2;   1,2,5
5-й шаг. 1; 1,2; 1,2,4 (1,2,5 отбрасываем)
6-й шаг.  1;   1,2; 1,2,4; 1,2,4,8
7-й шаг.    1; 1,2; 1,2,3; 1,2,4,8
8-й шаг.    1;   1,2; 1,2,3 1,2,3,6 (1,2,4,8 отбрасываем)
9-й шаг.  1,2,3,6,7 – самая длинная возрастающая подпоследовательность.

Задача о рюкзаке

Пусть есть рюкзак вместимостью W и n неделимых предметов, каждый из которых характеризуется весом wi и ценностью pi, и пусть суммарный вес предметов превышает вместимость рюкзака. Нужно из множества предметов выбрать подмножество так, чтобы их суммарная ценность была бы максимальной, и при этом их суммарный вес не превышал вместимости рюкзака.

Задача носит такое название, поскольку описывает ситуацию сбора вещей в поездку – вместимости рюкзака или чемодана не хватает, чтобы взять с собой все нужные предметы. Приходится выбирать, что положить в рюкзак, а что оставить.

Аналогичная ситуация возникает при решении задачи о загрузке транспортных средств в условиях ограниченной грузоподъёмности (т.е. когда суммарный вес грузов превышает грузоподъёмность транспортного средства).

Другое применение данной задачи – планирование рабочего времени.

Пусть мастер в начале рабочего дня может выбирать из некоторого множества заказы, которые он выполнит в течение дня. Ему нужно выбрать такое подмножество заказов, суммарное время выполнения которых не превышало бы продолжительности рабочего дня, а суммарный заработок от выполнения всех заказов был бы наибольшим.

Рассмотрим пример решения задачи методом динамического программирования.

Пусть есть четыре предмета, их характеристики задано в таблице:

Предмет

1

2

3

4

Вес

2

4

5

8

Ценность

4

5

9

11

Пусть вместимость рюкзака равна 10. Каждому способу заполнения рюкзака будем ставить в соответстие пару чисел, где первое число означает суммарный вес, а второе – суммарную полезность. Например, если в рюкзаке лежит первый и второй предметы, то их суммарный вес равен 2+4=6, а суммарная полезность – 4+5=9. Такому заполнению соответствует запись (6,9).

Будем решать задачу пошагово. На нулевом шаге есть только один способ заполнения рюкзака – в нём нет предметов, обозначаем это (0,0). На каждом шаге будем добавлять по одному предмету и будем к уже найденным способам заполнения рюкзака добавлять новые, возникающие в результате добавления нового предмета. Сделать это очень просто.

Для каждого способа заполнения рюкзака, который был найден на одном из предыдущих шагов, мысленно пытаемся добавить новый предмет. Если суммарный вес имеющихся предметов и добавленного предмета не превышает вместимости рюкзака, то добавляем новый способ заполнения, в котором добавляем вес и полезность предмета, и записываем новый способ заполнения рюкзака. Если суммарный вес имеющихся предметов и добавленого предмета больше вместимости рюкзака, то не пишем ничего.

Например, пусть уже найден способ заполнения (4,5). Пытаемся добавить третий предмет (с весом 5 и ценностью 9). Тогда суммарный вес предметов станет равным 4+5=9, что не превышает вместимости рюкзака, равной 10.

Таким образом, возникает дополнительный способ заполнения (9,14). Если же попытаемся добавить к способу (4,5) четвёртый предмет (с весом 8 и ценностью 11), то суммарный вес предметов составит 4+8=12, что превышает вместимость рюкзака. В этом случае не пишем ничего. После того, как на очередном шаге к уже имеющимся способам были добавлены новые, упорядочим все способы в порядке возрастания веса и отбросим бесперспективные.

Назовём способ бесперспективным, если уже был найден другой способ с не большим весом и не меньшей вместимостью, причём, по крайней мере, одно отношение строгое. Если возникает несколько равноценных способов, то достаточно оставить один из них, а остальные отбросить. Рассмотрим пошаговое решение приведенного примера.

0-й шаг – (0,0)
1-й шаг – (0,0), (2,4)
2-й шаг – остаются два старых способа (0,0), (2,4), и ещё в результате добавления 2-го предмета возникает два новых – (4,5) и (6,9).
Записываем список способов: (0,0), (2,4), (4,5) , (6,9).
3-й шаг – к множеству способов 2-го шага (0,0), (2,4), (4,5), (6,9) в результате добавления 3-го предмета добавляется ещё три способа – (5,9), (7,13) и (9,14). Заметим, что вариант заполнения рюкзака (6,9) является бесперспективным, поскольку существует способ (5,9). Отбрасываем этот бесперспективный способ и упорядочиваем остальные в порядке возрастания веса: (0,0), (2,4), (4,5) , (5,9), (7,13), (9,14).
4-й шаг. – В результате добавления 4-го предмета возникает ещё два способа – (8,11) и (10,15). Из всех способов максимальная полезность равна 15, и она достигается, когда в рюкзаке лежат 1-й и 4-й предметы.

Читателю предлагается самостоятельно решить задачу о рюкзаке для данного набора предметов, предположив, что вместимость рюкзака равна не 10, а 12.

С.И. Доценко, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник факультета компьютерных наук и кибернетики КНУ имени Тараса Шевченко

Беллман, Ричард — Прикладные задачи динамического программирования [Текст]


Поиск по определенным полям

Чтобы сузить результаты поисковой выдачи, можно уточнить запрос, указав поля, по которым производить поиск. Список полей представлен выше. Например:

author:иванов

Можно искать по нескольким полям одновременно:

author:иванов title:исследование

Логически операторы

По умолчанию используется оператор AND.
Оператор AND означает, что документ должен соответствовать всем элементам в группе:

исследование разработка

author:иванов title:разработка

оператор OR означает, что документ должен соответствовать одному из значений в группе:

исследование OR разработка

author:иванов OR title:разработка

оператор NOT исключает документы, содержащие данный элемент:

исследование NOT разработка

author:иванов NOT title:разработка

Тип поиска

При написании запроса можно указывать способ, по которому фраза будет искаться. Поддерживается четыре метода: поиск с учетом морфологии, без морфологии, поиск префикса, поиск фразы.
По-умолчанию, поиск производится с учетом морфологии.
Для поиска без морфологии, перед словами в фразе достаточно поставить знак «доллар»:

$исследование $развития

Для поиска префикса нужно поставить звездочку после запроса:

исследование*

Для поиска фразы нужно заключить запрос в двойные кавычки:

«исследование и разработка«

Поиск по синонимам

Для включения в результаты поиска синонимов слова нужно поставить решётку «#» перед словом или перед выражением в скобках.
В применении к одному слову для него будет найдено до трёх синонимов.
В применении к выражению в скобках к каждому слову будет добавлен синоним, если он был найден.
Не сочетается с поиском без морфологии, поиском по префиксу или поиском по фразе.

#исследование

Группировка

Для того, чтобы сгруппировать поисковые фразы нужно использовать скобки. Это позволяет управлять булевой логикой запроса.
Например, нужно составить запрос: найти документы у которых автор Иванов или Петров, и заглавие содержит слова исследование или разработка:

author:(иванов OR петров) title:(исследование OR разработка)

Приблизительный поиск слова

Для приблизительного поиска нужно поставить тильду «~» в конце слова из фразы. Например:

бром~

При поиске будут найдены такие слова, как «бром», «ром», «пром» и т.д.
Можно дополнительно указать максимальное количество возможных правок: 0, 1 или 2. 4 разработка

По умолчанию, уровень равен 1. Допустимые значения — положительное вещественное число.
Поиск в интервале

Для указания интервала, в котором должно находиться значение какого-то поля, следует указать в скобках граничные значения, разделенные оператором TO.
Будет произведена лексикографическая сортировка.

author:[Иванов TO Петров]

Будут возвращены результаты с автором, начиная от Иванова и заканчивая Петровым, Иванов и Петров будут включены в результат.

author:{Иванов TO Петров}

Такой запрос вернёт результаты с автором, начиная от Иванова и заканчивая Петровым, но Иванов и Петров не будут включены в результат.
Для того, чтобы включить значение в интервал, используйте квадратные скобки. Для исключения значения используйте фигурные скобки.

Беллман — Энциклопедия по экономике

Беллман Р., Заде Л. Принятие решений п расплывчатых условиях // В кн. Вопросы анализа и процедуры принятия решений. -М. Мир, 1976. -С.172-215.  [c.53]
В эти годы американскими математиками С. Джонсоном и Р. Беллманом была сформулирована общая задача календарного планирования. Сущность исследуемой задачи состояла в следующем. Имеется m различных деталей и п различных станков. Требуется найти такую последовательность обработки партий деталей, при которой общее время изготовления всех партий деталей будет наименьшим. При построении календарного графика должны выполняться следующие условия  [c.109]

С. Джонсон и Р. Беллман получили и первые результаты. Они предложили аналитические методы решения этой задачи для случая, когда число операций не превышает трех, а число обрабатываемых деталей неограничено.  [c.109]

В свое время, известный американский математик, лауреат Нобелевской премии по экономике Ричард Беллман заметил, что современные компьютеры по своей природе наиболее приспособлены для решения задач с начальными условиями (задачи Коши). Такие задачи могут быть решены последовательным получением решения от одного момента времени к другому, начиная с начального условия. В известном смысле, вся современная наука является результатом выдающегося и не всегда явно осознаваемого открытия Ньютона, впервые отделившего законы природы от начальных условий. Можно сказать, что традиционные компьютеры, в которых алгоритм отделен от данных, являются парафразом этого достижения. Из вышесказанного следует, что принципы работы обычных компьютеров оказываются в некотором смысле аналогичными принципам обработки информации именно левым полушарием мозга человека.  [c.9]

Беллман Р., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых условиях /  [c.77]

Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М. Наука, 1969. — 368 с.  [c.130]

Беллман Р., Заде Л. Принятие решений в расплыв-  [c.260]

БЕЛЛМАН Р., ЗАДЕ Л. Принятие решений в расплывчатых условиях I  [c.10]

Оптимальным решением задачи (12.28)+(12.31) будем считать такое решение. А , которое согласовано по Парето между экспертами [12.6] и является оптимизирующим по Беллману-Заде [12.7,12.2].  [c.513]

Четкая формализация моделей подобного рода дана Беллманом в терминах динамического программирования [10—12]. Качественные и вычислительные аспекты многоэтапных стохастических задач в жесткой постановке изучены в работах Н. 3. Шора и др. [332, 334, 336].  [c.202]

В принципе, при подходящей конструкции семейства и (t a) таким образом можно получить почти точное решение. Но в [98], при отсутствии информации о решении, семейство и (t а) содержало лишь монотонно убывающие функции, которыми никак нельзя аппроксимировать решение (13) поэтому эффект такого оптимального управления был незначителен (по сравнению с тривиальным выключением). Четкая постановка задачи о выключении как вариационной была дана Р. Беллманом [7] был предложен и алгоритм ее решения, использующий идеи динамического программирования (см. также 18], [9], [4]). В дальнейшем в монографии [4], специально посвященной этой задаче, были опубликованы данные о реализации этой программы. Они заслуживают подробного комментария. Заметим еще, что вычислительная схема  [c.304]

Однако фактическая реализация этого алгоритма наталкивается на серьезное препятствие нет никаких оснований ожидать, что все функции Fn будут получены в замкнутой аналитической форме, попытки же заменить функциональные зависимости таблицами (что приводит к дискретному варианту задачи) наталкиваются на препятствие, метко названное Р. Беллманом проклятием размерности при г > 2 задача практически становится непосильной для современных ЭВМ. Однако есть частный случай, когда уравнение (8) тем не менее решается в конечном виде. Это задачи, в которых все функции /»+ / (хп, a Bfl) квадратичны и, если начальное и конечное состояния не фиксированы, хотя бы одна из функций (пусть Фц (XN)) — квадратичная. Кроме того, области G являются полным r-мерным пространством. Этот случай, несмотря на определенную искусственность, может оказаться полезным  [c.388]

Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией. — М. Наука, 1964.  [c.479]

Затем, следуя Беллману [8], при данном уровне запасов в начале -го периода, можно записать функциональное уравнение для политики обеспечения минимальных затрат в периодах с t-ro по Г-й в виде  [c.215]

Беллман Р. Об основах теории стохастических вариационных процессов. — В сб. Гидродинамическая неустойчивость. — М. Мир, 1964, с. 323 — 337.  [c.433]

П. Беллман Р., Колоба Р. Динамическое программирование и современная теория  [c.433]

Такая концепция, получившая название динамического программирования, была создана американским математиком Р. Беллманом и его школой и оказалась весьма эффективной для анализа и численного решения этого типа задач. Прежде чем описывать ее сущность, как обычно, начнем с очень простой задачи, которая позволит тем не менее познакомиться с характерными чертами динамического программирования.  [c.64]

Многошаговые процессы принятия решений начали изучаться где-то в начале 50-х годов. Для этого хотя и не очень широкого, но часто встречающегося класса задач далеко не всегда пригодны методы классического математического анализа, аппарат линейного программирования или вариационное исчисление. Специальные же методы, предназначенные для исследования таких процессов, требовали разработки специальной концепции. Такая концепция, получившая название динамического программирования, была создана американским математиком Р. Беллманом и его школой. Существенный вклад в развитие методов динамического программирования сделан советскими математиками.  [c.89]

Беллман Р. Динамическое программирование. ИЛ, 1960.  [c.227]

В то же время, говоря о динамическом программировании как о методе решения оптимизационных задач, необходимо отметить и его слабые стороны. Так, в предложенной схеме решения задачи (5.3)-(5.4) существенным образом используется тот факт, что система ограничений содержит только одно неравенство, и, как следствие, ее состояние задается одним числом — нераспределенным ресурсом . При наличии нескольких ограничений состояние управляемого объекта на каждом шаге характеризуется уже набором параметров ,, 2,…, т, и табулировать значения функций Ал( ,, %2,…, я) необходимо для многократно большего количества точек. Последнее обстоятельство делает применение метода динамического программирования явно нерациональным или даже просто невозможным. Данную проблему его основоположник Р. Беллман эффектно назвал проклятием многомерности . В настоящее время разработаны определенные пути преодоления указанных трудностей. Подробную информацию о них можно найти в специальной литературе [4, 5].  [c.169]

Беллман (Bellman) Ричард Эрнест (1920— 1984), американский математик, автор метода динамического программирования. Окончил университет штата Висконсин, преподавал в Принстонском, Стэнфорд-ском университетах (профессор с 1948 г.), работал в корпорации РЭНД профессор Калифорнийского университета с 1965 г. Труды в области вычислительной математики и теории оптимального управления. Принцип оптимальности Бел-лмана — основное понятие динамического программирования.  [c.434]

Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. — М. Наука, 1965.  [c.315]

Подробная характеристика первых трех вариантов решения задачи дана в главе 11. Напомним, что первый вариант имеет строгое и эффективное решение, называемое по имени его создателя алгоритмом (методом) Джонсона. Второй вариант можно при определенных условиях также свести к решению методом Джонсона, но результат при этом будет не обязательно оптимальным. Строгое решение этой задачи дал Р. Беллман, однако оно трудоемко. Третийвариант самый сложный. Эффективная эвристическая процедура его разрешения известна под названием DS-алгоритм. Этот алгоритм распространяет метод Джонсона на общий случай постановки задачи и обеспечивает околооптимальное решение. Существуют и другие подходы, которые используют теорию очередей и компьютерное моделирование, чтобы решить эту проблему. Но все они трудоемки и сложны и в то же время не гарантируют нахождения оптимальной последовательности.  [c.544]

Доказательство. Первая часть теоремы хорошо известна (см. Харди, Литтл-вуд и Полна, 1952 Беккенбах и Беллман, 1961). Докажем вторую часть, относящуюся к случаю, когда (5) превращается в равенство. Очевидно, если xi = yi  [c.275]

Идея представления нелинейной функции как огибающей линейных функций восходит к Минковскому и интенсивно использовалась Беллманом и другими.  [c.305]

Первой попыткой перехода от статических моделей стохастического программирования к динамическим была, по-видимому, двухэтапная задача Данцига — Маданского. Двухэтапная задача может быть обобщена в различных направлениях. Естественно, например, перейти к многоэтапной задаче с жесткими ограничениями (с ограничениями, которые должны выполняться при всех возможных реализациях случая, подобно тому, как это предполагается в классической двухэтапной задаче). Такого рода подходы рассматривались Беллманом [10], Дж. Данцигом [88], Н. 3. Шором и др. [332, 334—336]. Здесь мы, однако, рассмотрим более широкие обобщения двухэтапной задачи — различные постановки многоэтапных стохастических задач с безусловными и условными статистическими, вероятностными и жесткими ограничениями. Частные модели подобного типа обсуждались в [70, 308—310] и других работах. Многоэтапные модели стохастического программирования имеют многочисленные приложения к задачам планирования в экономике и технике. Ряд практических проблем, возникающих при перспективном планировании, при многостадийном проектировании, при управлении боевыми операциями, при планировании экспериментов и оперативном управлении космическими объектами, при регулировании технологических процессов, подверженных случайным возмущениям, может быть рассмотрен как многоэтапные стохастические задачи со статистическими вероятностными и жесткими ограничениями.  [c.192]

Итеративные методы в теории игр и программировании. М, Наука , 1974. Авт. В. 3. Беленький, В. А. Волконский, С. А. Иванков, А. Б. Поманский, А. Д. Шапиро. 10. Беллман Р. Динамическое программирование. М., ИЛ, 1960.  [c.381]

Лит. Б е л л м а п Р., Динамическое программирование., пер. с англ., М., 1960 его же, Теория динамического планирования, в кн. Современная математика для инженеров, [пер. с англ.], М., 1959 (гл. 10) Беллман Р., Г л и к с-б е р г И., Гросс О., Некоторые вопросы математической теории процессов управления, пер. с англ., М., 1962 П о н т-р я г и н Л. С., Б о л т я н с к и и В. Г., Г а м к р е л и д а е Р. В., Мищенко Е. Ф., Математическая теория оптимальных процессов, М., 1960 трейдер Ю. А., Задача динамического планиронания и автоматы, в сб. Проблемы кибернетики, под ред. А. А. Ляпунова, вып. 5, М., 1961 Романовский И. В., (Сообщение) О динамическом программировании и его использовании в экономике, в кн. Математический анализ расширенного воспроизводства, М., 1962 (Труды научного совещания о применении математических методов в экономических исследованиях и планировании, т. 2). Э. В. Ершов.  [c.316]

Лит. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О., Некоторые вопросы математической теории процессов управления, пер. с англ., М., 1962 В а ж о н ь и А., Научное программирование в промышленности и торговле, М., 1963 Применение статистических методов в производстве, сб. , сост. В. В. Головинский, М., 1963. Ю. О. Любович.  [c.271]

ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЕ, раздел. математического программирования, предназначенный для анализа п численного решения экстремальных задач специальной (чаще всего динаинч.) структуры. Характеризуется поэтапным способом принятии решении. Наиболее значит, вклад в развитие П. д. сделан амер. математиком Р. Беллманом. Важные исследования но совершенствованию вычислит, схем П. д. проведены  [c.343]

Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О. Некоторые вопросы математической теории процессов управления. ИЛ, 1962.  [c.227]

Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления Наука , 1969.  [c.227]

Страница не найдена | MIT

Перейти к содержанию ↓
  • Образование
  • Исследование
  • Инновации
  • Прием + помощь
  • Студенческая жизнь
  • Новости
  • Выпускников
  • О MIT
  • Подробнее ↓
    • Прием + помощь
    • Студенческая жизнь
    • Новости
    • Выпускников
    • О MIT
Меню ↓ Поиск Меню Ой, похоже, мы не смогли найти то, что вы искали!
Попробуйте поискать что-нибудь еще! Что вы ищете? Увидеть больше результатов

Предложения или отзывы?

Bellman Уравнения и динамическое программирование | Санчит Танвар | Аналитика Видхья

Это серия статей по обучению с подкреплением, и если вы новичок и не изучали ранее, прочтите, пожалуйста, (ссылки в конце этой статьи). До сих пор мы обсуждали только основы обучения с подкреплением и то, как сформулировать задачу обучения с подкреплением, используя марковский процесс принятия решений (MDP). С этого момента мы будем работать над решением MDP.

Уравнение Беллмана

Если вы читали что-либо, связанное с обучением с подкреплением, вы, должно быть, где-то встречали уравнение Беллмана. Уравнение Беллмана является основным блоком решения обучения с подкреплением и повсеместно присутствует в RL. Это помогает нам решать MDP.Решить — значит найти оптимальную политику и функции ценности.

Функция оптимального значения V * (S) — это функция, которая дает максимальное значение.

Значение данного состояния равно максимальному действию (действие, которое максимизирует значение) награды за оптимальное действие в данном состоянии и добавить коэффициент скидки, умноженный на значение следующего состояния из уравнение Беллмана.

Уравнение Беллмана для детерминированной среды

Давайте разберемся в этом уравнении, V (s) — это значение для нахождения в определенном состоянии.V (s ’) — это значение нахождения в следующем состоянии, в котором мы окажемся после выполнения действия a. R (s, a) — это награда, которую мы получаем после выполнения действия a в состоянии s. Поскольку мы можем выполнять разные действия, мы используем максимум, потому что наш агент хочет быть в оптимальном состоянии. γ — коэффициент дисконтирования, как обсуждалось ранее. Это уравнение Беллмана в детерминированной среде (обсуждается в части 1). Он будет немного отличаться для недетерминированной среды или стохастической среды.

Уравнение Беллмана для стохастической среды

В стохастической среде, когда мы предпринимаем действие, не подтверждается, что мы окажемся в определенном следующем состоянии, и есть вероятность того, что мы закончим в определенном состоянии.P (s, a, s ’) — вероятность завершения состояния s’ из s путем выполнения действия a. Суммируется до общего количества будущих состояний. Например, если, совершив действие, мы можем попасть в 3 состояния s₁, s₂ и s₃ из состояния s с вероятностью 0,2, 0,2 и 0,6. Уравнение Беллмана будет

V (s) = max = (R (s, a) + γ (0,2 * V (s₁) + 0,2 * V (s₂) + 0,6 * V (s₃))

Мы можем решить Уравнение Беллмана с использованием специальной техники, называемой динамическим программированием

Динамическое программирование

Динамическое программирование (DP) — это метод решения сложных проблем.В DP вместо решения сложных проблем по одной мы разбиваем проблему на простые подзадачи, а затем для каждой подзадачи мы вычисляем и сохраняем решение. Если возникает такая же подзадача, мы не будем пересчитывать, вместо этого мы используем уже вычисленное решение.

Мы решаем уравнение Беллмана, используя два мощных алгоритма:

  • Итерация значения
  • Итерация политики

Итерация значения

Мы изучим это с помощью диаграмм и программ.

Итерация значений

Итерация значений начинается с функции случайного значения. Поскольку таблица значений не оптимизируется при случайной инициализации, мы оптимизируем ее итеративно.

Давайте начнем с программирования, мы будем использовать для этого open ai gym и numpy.

Итерация значения

Итерация политики

Итерация политики

В Итерации политики сначала определяются или инициализируются действия, которые агент должен предпринять, и в соответствии с политикой создается таблица значений.

Код для итерации политики:

Итерация политики
  1. Введение в обучение с подкреплением.
  2. Марковские цепи и марковский процесс принятия решений.
  3. Уравнение Беллмана и динамическое программирование → Вы здесь.

Ссылки

  1. Практическое обучение с подкреплением с питоном от Сударшана Равичандрана
  2. https://medium.com/@taggatle/02-reinforcement-learning-move-37-the-bellman-equation-254375be82bd

Планирование с помощью динамического программирования: обучение с подкреплением | by Ryan Wong

Часть 3: Объяснение концепций динамического программирования, оценки политик, итераций политик и итераций значений

В этом сообщении блога я объясню, как оценивать и находить оптимальные политики с помощью динамического программирования. Эта серия сообщений в блоге содержит краткое изложение концепций, объясненных в книге Дэвида Сильвера «Введение в обучение с подкреплением».

Часть: 1 ・ 2 ・ 3 ・ 4 ・…

Теперь мы будем использовать такие концепции, как MDP и уравнения Беллмана, обсужденные в предыдущих частях, чтобы определить, насколько хороша данная политика и как найти оптимальную политику в Марковский процесс принятия решений.

Динамическое программирование — это метод решения сложных проблем путем разбиения их на подзадачи.Решения подзадач объединяются для решения общей проблемы.

Два требуемых свойства динамического программирования:

  • Оптимальная подструктура : оптимальное решение подзадачи может использоваться для решения общей проблемы.
  • Перекрывающиеся подзадачи : подзадачи повторяются много раз. Решения подзадач можно кэшировать и использовать повторно.

Марковские процессы принятия решений удовлетворяют обоим этим свойствам:

  • Уравнение Беллмана дает рекурсивное разложение , которое говорит нам, как разбить функцию оптимального значения на две части. то есть оптимальное поведение одного шага, а затем оптимальное значение остальных шагов.
  • Функция Value сохраняет и повторно использует решения . Кэш со всей полезной информацией MDP, которая сообщает вам оптимальное вознаграждение, которое вы можете получить в этом состоянии и далее.

Динамическое программирование может использоваться для решения задач обучения с подкреплением, когда кто-то сообщает нам структуру MDP (т.е. когда мы знаем структуру перехода, структуру вознаграждения и т. Д.). Поэтому динамическое программирование используется для планирования в MDP либо для решения:

  • Задача прогнозирования (оценка политики) :

Учитывая MDP и полис .Найдите функцию ценности v_π (которая сообщает вам, сколько награды вы собираетесь получить в каждом состоянии). то есть цель — выяснить, насколько хорош полис π .

  • Проблема управления (Найдите лучшее, что можно сделать в MDP):

Учитывая MDP . Найдите функцию оптимального значения v_π и оптимальную политику π *. , то есть цель состоит в том, чтобы найти политику, которая дает вам наибольшее вознаграждение, которое вы можете получить, выбрав лучшее действие.

Оценка политики

Проблема : Оценка данной политики π и MDP. (Узнайте, насколько хороша политика π )
Решение : Итеративное применение резервного копирования Bellman Expectation.

Подход:
Начните с функции начального значения v₁ (значение всех состояний в MDP). Например. начните со значения 0. Следовательно, вознаграждение отсутствует. Затем используйте уравнение ожидания Беллмана для вычисления v₂ и повторите много раз, что в конечном итоге сойдется к v_π.

Одним из способов достижения такой конвергенции является использование синхронных резервных копий , где мы учитываем все состояния на каждом этапе.

  1. На каждой итерации k + 1 для всех состояний s ∈ S
  2. Обновить vₖ₊₁ (s) из vₖ (s ‘), , где s’ — состояние-преемник s

vₖ (s ‘) обновляется с использованием уравнения ожидания Беллмана, обсуждаемого в части 2.

Уравнение ожидания Беллмана

Пример:
Предположим, у нас есть сетка с 14 состояниями , где каждый блок представляет собой состояние .У нас также есть 2 состояния терминала , одно в правом нижнем углу, а другое в верхнем левом углу мира сетки. Мы можем выполнить действия по перемещению вверх по , вниз по , влево и вправо , и каждый переход, который мы выполняем, дает нам немедленное вознаграждение -1 до тех пор, пока не будет достигнуто конечное состояние. С коэффициентом дисконтирования γ = 1 и нашей данной политикой π для нашего агента следует единообразная случайная политика:

Нам нужно вычислить ценность пребывания в каждом состоянии, чтобы определить, насколько хороша наша определенная политика π есть.

1. Следуя нашему подходу, описанному выше, мы можем начать с функции начального значения v₀ со всеми значениями, равными 0.

v₀

2. Затем мы вычисляем новую функцию значения v Equ, используя уравнение ожидания Беллмана, применяя прогноз на один шаг вперед. .

v₁: синий блок рассчитывается с использованием уравнения ожидания Беллмана таким образом, что 0,25 (-1 + 1 (0)) + 0,25 (-1 + 1 (0)) + 0,25 (-1 + 1 (0)) + 0,25 (- 1 + 1 (0)) = -1

3. Повторение обработки с использованием v₁ для вычисления v₂

v₂: синий блок вычисляется с использованием уравнения ожидания Беллмана, так что 0.25 (-1 + 1 (-1)) + 0,25 (-1 + 1 (-1)) + 0,25 (-1 + 1 (-1)) + 0,25 (-1 + 1 (0)) = — 1,75

4. Повторение этого процесса с k = ∞ в конечном итоге сведет нашу функцию значения к v_π.

Таким образом, мы вычислили значение, связанное с нахождением в каждом состоянии в нашей MDP для нашей политики π .

Как улучшить политику?
При описанном выше подходе мы оценили данную политику, но не нашли наилучшую политику (действия, которые необходимо предпринять) в нашей среде. Чтобы улучшить данную политику, мы можем оценить данную политику π и улучшить политику, действуя жадно по отношению к v_π. Это можно сделать с помощью Policy Iteration .

Итерация политики

Проблема : Найдите лучшую политику π * для данного MDP.
Решение : Итерация политики уравнения ожидания Беллмана и жадное действие.

Подход:
Начать с заданной политики π

  1. Оценить политику π с помощью оценки политики (описанной выше)
  2. Улучшить политику π на действовать жадно с уважением до v_π с улучшением политики, чтобы получить новую политику π ‘.
  3. Повторяйте, пока новая политика π ’ не сойдется с оптимальной политикой π * .

Чтобы действовать жадно, мы используем прогноз на один шаг вперед, чтобы определить действие, которое дает нам максимальное значение функции действия (описано в части 2):

Напомним, что функция значения действия имеет следующие уравнения:

функция действие-значение

Итерация значений

Альтернативный подход к проблемам управления — итерация значений с использованием уравнения оптимальности Беллмана .Сначала нам нужно определить, как мы можем разделить оптимальную политику на ее компоненты, используя принцип оптимальности .

Принцип оптимальности
Любую оптимальную политику можно разделить на два компонента, которые делают общее поведение оптимальным:
— Оптимальное первое действие A *
— Сопровождение оптимальной политикой из состояния преемника S

Теорема (принцип оптимальности)
Политика π (a | s) достигает оптимального значения из состояния s, v_π (s) = v ∗ (s) , если и только if:
Для любого состояния s, достижимого от с
π достигает оптимального значения из состояния s ‘, v_π (s’) = v ∗ (s ‘)

Итерация значений (применяется)

Проблема : Найдите оптимальную политику π * для данного MDP.
Решение : Итеративное применение резервного копирования Bellman Optimality

Подход:
Использование синхронного резервного копирования обновляйте функцию значения до тех пор, пока не будет вычислена функция оптимального значения без вычисления функции значения действия.

  1. На каждой итерации k + 1 для всех состояний s ∈ S
  2. Обновить vₖ₊₁ (s) из vₖ (s ‘), , где s’ — состояние-преемник s

vₖ (s ‘) обновляется с использованием уравнения оптимальности Беллмана, обсуждаемого в Части 2:

Уравнение оптимальности Беллмана

При повторении описанного выше процесса оно в конечном итоге сходится к v *. Обратите внимание, что этот процесс отличается от итерации политики тем, что функции промежуточного значения могут не соответствовать какой-либо политике.

Все алгоритмы, описанные в этом посте, являются решениями задач планирования в обучении с подкреплением (где нам дается MDP). Эти задачи планирования (прогнозирование и управление) могут быть решены с помощью алгоритмов синхронного динамического программирования.

Прогнозирование Задачи могут быть решены с использованием итеративного уравнения ожидания Беллмана ( Policy Evaluation ).

Управление Проблемы могут быть решены с помощью Итерация политики уравнения ожидания Беллмана и Greedy ( Улучшение политики ) или Уравнение оптимальности Беллмана ( Итерация значений ).

Динамическое программирование | SpringerLink

Живая справочная работа, запись

Первый онлайн:

DOI: https://doi.org/10.1057/978-1-349-95121-5_1932-1

  • 6 Цитаты
  • 658 Загрузки

Abstract

В данной статье рассматривается история и теория динамического программирования (DP), рекурсивного метода решения задач последовательного принятия решений в условиях неопределенности. В нем обсуждаются вычислительные алгоритмы для численного решения задач DP, а также важное ограничение нашей способности решать реалистичные крупномасштабные задачи динамического программирования, «проклятие размерности». Он также резюмирует недавние исследования в области теории сложности, которые очерчивают ситуации, когда проклятие может быть снято (что позволяет нам решать DP с использованием алгоритмов быстрого полиномиального времени), и ситуации, когда это непреодолимо. Обзор литературы по эконометрической оценке и тестированию моделей DP, а также еще один «научный предел знания», а именно проблема идентификации.

Ключевые слова

Обратная индукция Уравнение Беллмана Сложность вычислений Вычислительные эксперименты Вогнутость Модели с непрерывным и дискретным временем Проклятие размерности Переменные решения Дисконтный коэффициент Модели динамического дискретного выбора Динамические игры Динамическое программирование Эконометрическая оценка Уравнения Эйлера Дерево игры Идентификация Независимость Косвенный вывод Бесконечные горизонты Фильтрация Калмана Кун – Цепь Маркова Методы Монте-Карло Марковские задачи принятия решений Метод максимального правдоподобия Метод имитируемых моментов Метод имитированных оценок Метод минимальных невязок Монотонность Интеграция Монте-Карло Нейронные сети Нелинейная регрессия Непараметрическая регрессия Оптимальные правила принятия решений Итерация политики Принцип оптимальности Рациональные ожидания Последовательные задачи принятия решений Моделирование максимального правдоподобия Моделирование метод моментов Моделируемое минимальное расстояние Оценка на основе моделирования Переменные состояния Стационарность Статистическая теория принятия решений Структурная оценка n Совершенство подигры Неопределенность Wald, A

Эта глава была первоначально опубликована в журнале The New Palgrave Dictionary of Economics , 2-е издание, 2008 г. Под редакцией Стивена Н. Дурлауфа и Лоуренса Э. Блюма

Это предварительный просмотр содержимого подписки,

войдите в

, чтобы проверить доступ.

Библиография

  1. Для этой статьи были использованы полезные отзывы Кеннета Эрроу, Дэниела Бенджамина, Ларри Блюма, Моше Бучинского, Ларри Эпштейна, Криса Фелана и Артура Ф. Вейнотта младшего.

    Google Scholar
  2. Адда, Дж. , и Р. Купер. 2003.

    Динамическая экономика, количественные методы и приложения

    .Кембридж, Массачусетс: MIT Press.

    Google Scholar
  3. Aguirregabiria, V., and P. Mira. 2004. Замена вложенного алгоритма с фиксированной точкой: класс оценок для дискретных марковских моделей решений.

    Econometrica

    70: 1519–1543.

    CrossRefGoogle Scholar
  4. Aguirregabiria, V., and P. Mira. 2007. Последовательное оценивание динамических дискретных игр.

    Econometrica

    75: 1–53.

    CrossRefGoogle Scholar
  5. Эрроу, К. Дж., Д. Блэквелл и М.А.Гиршик. 1949. Байесовские и минимаксные решения задач последовательного решения.

    Econometrica

    17: 213–244.

    CrossRefGoogle Scholar
  6. Bajari, P., and H. Hong. 2006.

    Полупараметрическая оценка динамической игры неполной информации

    , Технический рабочий документ № 320. Кембридж, Массачусетс: NBER.

    CrossRefGoogle Scholar
  7. Bajari, P., L. Benkard, and J. Levin. 2007. Оценка динамических моделей несовершенной конкуренции.

    Econometrica

    75: 1331–1370.

    CrossRefGoogle Scholar
  8. Barto, A.G., S.J. Брадтке и С.П. Сингх. 1995. Учимся действовать с помощью динамического программирования в реальном времени.

    Искусственный интеллект

    72: 81–138.

    CrossRefGoogle Scholar
  9. Bellman, R. 1957.

    Динамическое программирование

    . Принстон: Издательство Принстонского университета.

    Google Scholar
  10. Беллман Р. 1984.

    Глаз урагана

    .Сингапур: World Scientific.

    CrossRefGoogle Scholar
  11. Беллман, Р. и С. Дрейфус. 1962.

    Прикладное динамическое программирование

    . Принстон: Издательство Принстонского университета.

    CrossRefGoogle Scholar
  12. Бертсекас, Д.П. 1995.

    Динамическое программирование и оптимальное управление

    , тт. 1 и 2. Бельмонт: Athena Scientific.

    Google Scholar
  13. Берцекас Д.П. и Дж. Цициклис. 1996.

    Нейродинамическое программирование

    .Бельмонт: Athena Scientific.

    Google Scholar
  14. Bhattacharya, R.N., and M. Majumdar. 1989. Управляемые полумарковские модели — Дисконтированный случай.

    Журнал статистического планирования и выводов

    21: 365–381.

    CrossRefGoogle Scholar
  15. Бинмор, К., Дж. Маккарти, Г. Понти, Л. Самуэльсон и А. Шакед. 2002. Эксперимент с обратной индукцией.

    Журнал экономической теории

    104: 48–88.

    CrossRefGoogle Scholar
  16. Блэквелл, Д.1962. Дискретное динамическое программирование.

    Анналы математической статистики

    33: 719–726.

    CrossRefGoogle Scholar
  17. Blackwell, D. 1965a. Позитивное динамическое программирование.

    Труды 5-го симпозиума в Беркли

    3: 415–428.

    Google Scholar
  18. Блэквелл, Д. 1965b. Дисконтированное динамическое программирование.

    Анналы математической статистики

    36: 226–235.

    CrossRefGoogle Scholar
  19. Кэли, А.1875. Математические задачи и их решения. Задача № 4528.

    Время обучения

    27, 237.

    Google Scholar
  20. Чоу, К.С., и Дж. Цициклис. 1989. Сложность динамического программирования.

    Журнал сложности

    5: 466–488.

    CrossRefGoogle Scholar
  21. Денардо, Э. 1967. Отображения сокращения, лежащие в основе теории динамического программирования.

    Обзор SIAM

    9: 165–177.

    CrossRefGoogle Scholar
  22. Дворецкий, А., Дж. Кифер и Дж. Вулфовиц. 1952. Проблема инвентаризации: I. Случай известного распределения спроса.

    Econometrica

    20: 187–222.

    CrossRefGoogle Scholar
  23. Eckstein, Z., and K.I. Вольпин. 1989. Спецификация и оценка динамических стохастических моделей дискретного выбора: обзор.

    Журнал людских ресурсов

    24: 562–598.

    CrossRefGoogle Scholar
  24. Галлант, A.R., and G.E. Таухен. 1996. Какие моменты подобрать?

    Эконометрическая теория

    12: 657–681.

    CrossRefGoogle Scholar
  25. Гихман И.И. и А.В. Скороход. 1979.

    Управляемые случайные процессы

    . Нью-Йорк: Спрингер.

    CrossRefGoogle Scholar
  26. Гиттинс, Дж. К. 1979. Бандитские процессы и индексы динамического распределения.

    Журнал Королевского статистического общества B

    41: 148–164.

    Google Scholar
  27. Gotz, G.A., and J.J. Макколл. 1980. Оценка в последовательных моделях принятия решений: Методологическая записка.

    Economics Letters

    6: 131–136.

    CrossRefGoogle Scholar
  28. Gourieroux, C., and A. Monfort. 1997.

    Симуляционные методы вывода

    . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета.

    CrossRefGoogle Scholar
  29. Grüne, L., and W. Semmler. 2004. Использование динамического программирования с адаптивной сеточной схемой для задач оптимального управления в экономике.

    Журнал экономической динамики и управления

    28: 2427–2456.

    CrossRefGoogle Scholar
  30. Hall, G., and J. Rust. 2006.

    Эконометрические методы для временных рядов с внутренней выборкой: случай спекуляции ценами на сырьевые товары на рынке стали

    . Рукопись: Йельский университет.

    Google Scholar
  31. Hansen, L.P., and T.J. Сарджент. 1980. Формулировка и оценка динамических линейных моделей рациональных ожиданий.

    Журнал экономической динамики и управления

    2: 7–46.

    CrossRefGoogle Scholar
  32. Хансен, Л.П., К. Синглтон. 1982. Оценка обобщенных инструментальных переменных нелинейных моделей рациональных ожиданий.

    Econometrica

    50: 1269–1281.

    CrossRefGoogle Scholar
  33. Howard, R.A. 1960.

    Динамическое программирование и марковские процессы

    . Нью-Йорк: Вили.

    Google Scholar
  34. Имаи, С., Н. Джайн и А. Чинг. 2005.

    Байесовская оценка динамических моделей дискретного выбора

    . Рукопись: Университет Иллинойса.

    Google Scholar
  35. Джадд, К. 1998.

    Численные методы в экономике

    . Кембридж, Массачусетс: MIT Press.

    Google Scholar
  36. Кин, М., и К.И. Вольпин. 1994. Решение и оценка моделей динамического программирования с дискретным выбором путем моделирования: доказательства Монте-Карло.

    Обзор экономики и статистики

    76: 648–672.

    CrossRefGoogle Scholar
  37. Kurzweil, R. 2005.

    Сингулярность близка, когда люди выходят за рамки биологии

    . Нью-Йорк: Viking Press.

    Google Scholar
  38. Кушнер, Х.Дж. 1990. Численные методы для задач стохастического управления в непрерывном времени.

    Журнал SIAM по управлению и оптимизации

    28: 999–1048.

    CrossRefGoogle Scholar
  39. Ланкастер, А. 1997. Точный структурный вывод в оптимальных моделях поиска работы.

    Журнал экономики и статистики бизнеса

    15: 165–179.

    Google Scholar
  40. Ледьярд, Дж.1986. Сфера действия гипотезы байесовского равновесия.

    Журнал экономической теории

    39: 59–82.

    CrossRefGoogle Scholar
  41. Lucas Jr., R.E. 1976. Эконометрическая оценка политики: критика. В

    Кривая Филлипса и рынки труда

    , Конференция Карнеги-Рочестера по государственной политике, изд. К. Бруннер, А.К. Мельцер. Амстердам: Северная Голландия.

    Google Scholar
  42. Lucas Jr., R.E. 1978. Цены на активы в биржевой экономике.

    Econometrica

    46: 1426–1445.

    CrossRefGoogle Scholar
  43. Luenberger, D.G. 1969.

    Оптимизация методами векторного пространства

    . Нью-Йорк: Вили.

    Google Scholar
  44. Magnac, T., and D. Thesmar. 2002. Определение динамических дискретных процессов принятия решений.

    Econometrica

    70: 801–816.

    CrossRefGoogle Scholar
  45. Маршак Т. 1953. Экономические измерения для политики и прогнозирования.В

    Исследования по эконометрическому методу

    , изд. ТУАЛЕТ. Худ и Т.Дж. Купманс. Нью-Йорк: Вили.

    Google Scholar
  46. Massé, P. 1945.

    Application des probabilités en chaîne á l’hydrologie statistique et au jeu des резервуаров. Отчет для Статистического общества Парижа

    . Париж: Бержер-Левро.

    Google Scholar
  47. Massé, P. 1946.

    Les réserve et la régulation de l’avenir

    . Пэрис: Германн.

    Google Scholar
  48. McFadden, D. 1989. Метод моделирования моментов для оценки моделей дискретного отклика без численного интегрирования.

    Econometrica

    57: 995–1026.

    CrossRefGoogle Scholar
  49. Немировский А.С., Д.Б. Юдин. 1983.

    Сложность задачи и эффективность метода оптимизации

    . Нью-Йорк: Вили.

    Google Scholar
  50. Nourets, A. 2006.

    Логический вывод в динамических моделях дискретного выбора с последовательно коррелированными ненаблюдаемыми переменными состояния

    .Рукопись, Университет Айовы.

    Google Scholar
  51. Paarsch, H.J., and J. Rust. 2007.

    Стохастическое динамическое программирование в космосе: приложение к лесному хозяйству Британской Колумбии

    . Рабочий документ.

    Google Scholar
  52. Пейкс, А. 1986. Патенты как варианты: некоторые оценки стоимости владения европейскими патентными запасами.

    Econometrica

    54: 755–784.

    CrossRefGoogle Scholar
  53. Пэйкс, А. 2001. Стохастические алгоритмы, симметричные марковские идеальные равновесия и «проклятие» размерности.

    Econometrica

    69: 1261–1281.

    CrossRefGoogle Scholar
  54. Pakes, A., and P. McGuire. 1994. Вычисление марковского совершенного равновесия по Нэшу: численные последствия динамической модели дифференцированного продукта.

    RAND Journal of Economics

    25: 555–589.

    CrossRefGoogle Scholar
  55. Penrose, R. 1989.

    Новый разум императора

    . Нью-Йорк: Пингвин.

    Google Scholar
  56. Пезендорфер, М., и П. Шмидт-Денглер. 2003.

    Идентификация и оценка динамических игр

    . Рукопись, Университетский колледж Лондона.

    Google Scholar
  57. Поллард, Д. 1989. Асимптотика через эмпирические процессы.

    Статистическая наука

    4: 341–386.

    CrossRefGoogle Scholar
  58. Puterman, M.L. 1994.

    Марковские задачи решения

    . Нью-Йорк: Вили.

    CrossRefGoogle Scholar
  59. Руст, Дж.1985. Стационарное равновесие на рынке товаров длительного пользования.

    Econometrica

    53: 783–805.

    CrossRefGoogle Scholar
  60. Руст, Дж. 1987. Оптимальная замена двигателей автобусов GMC: эмпирическая модель Гарольда Цурчера.

    Econometrica

    55: 999–1033.

    CrossRefGoogle Scholar
  61. Руст, Дж. 1988. Оценка максимального правдоподобия дискретных процессов управления.

    Журнал SIAM по управлению и оптимизации

    26: 1006–1024.

    CrossRefGoogle Scholar
  62. Руст, Дж. 1994. Структурная оценка марковских процессов принятия решений. В

    Справочник по эконометрике

    , т. 4, изд. Р.Ф. Энгл и Д. Макфадден. Амстердам: Северная Голландия.

    Google Scholar
  63. Руст, Дж. 1996. Численное динамическое программирование в экономике. В

    Справочник по вычислительной экономике

    , изд. Х. Амман, Д. Кендрик и Дж. Руст. Амстердам: Северная Голландия.

    Google Scholar
  64. Руст, Дж.1997. Использование рандомизации, чтобы разрушить проклятие размерности.

    Econometrica

    65: 487–516.

    CrossRefGoogle Scholar
  65. Rust, J., and G.J. Зал. 2007. Правило (

    S

    ,

    s

    ) является оптимальной торговой стратегией в классе проблем спекуляции цен на сырьевые товары.

    Экономическая теория

    30: 515–538.

    CrossRefGoogle Scholar
  66. Руст, Дж. И К. Фелан. 1997. Как социальное обеспечение и медицинские услуги влияют на пенсионное поведение в мире с неполными рынками.

    Econometrica

    65: 781–832.

    CrossRefGoogle Scholar
  67. Руст Дж., Дж. Ф. Трауб и Х. Возняковски. 2002. Есть ли проклятие размерности для фиксированных точек сжатия в худшем случае?

    Econometrica

    70: 285–329.

    CrossRefGoogle Scholar
  68. Santos, M., and J. Rust. 2004. Свойства сходимости итерации политики.

    Журнал SIAM по управлению и оптимизации

    42: 2094–2115.

    CrossRefGoogle Scholar
  69. Сарджент, Т. J. 1978. Оценка динамических графиков спроса на рабочую силу при рациональных ожиданиях.

    Журнал политической экономии

    86: 1009–1044.

    CrossRefGoogle Scholar
  70. Sargent, T.J. 1981. Интерпретация экономических временных рядов.

    Журнал политической экономии

    89: 213–248.

    CrossRefGoogle Scholar
  71. Селтен, Р. 1975. Пересмотр концепции совершенства для точек равновесия в обширных играх.

    Международный журнал теории игр

    4: 25–55.

    CrossRefGoogle Scholar
  72. Tauchen, G., and R. Hussey. 1991. Квадратурные методы для получения приближенных решений нелинейных моделей ценообразования активов.

    Econometrica

    59: 371–396.

    CrossRefGoogle Scholar
  73. Тодд П. и К.И. Вольпин. 2005.

    Предварительная оценка социальных программ

    . Рукопись, Университет Пенсильвании.

    Google Scholar
  74. Трауб, Дж. Ф., и А. Г. Вершульц. 1998 г.

    Сложность и информативность

    . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.

    Google Scholar
  75. Фон Нейман, Дж. И О. Моргенштерн. 1944.

    Теория игр и экономического поведения

    . Принстон: Издательство Принстонского университета. 3-е изд., 1953.

    Google Scholar
  76. Wald, A. 1947a. Основы общей теории последовательных решающих функций.

    Econometrica

    15: 279–313.

    CrossRefGoogle Scholar
  77. Wald, A.1947b.

    Последовательный анализ

    . Нью-Йорк: Дувр.

    Google Scholar
  78. Wald, A., and J. Wolfowitz. 1948. Оптимальный характер теста последовательного отношения вероятностей.

    Анналы математической статистики

    19: 326–339.

    CrossRefGoogle Scholar
  79. Wolpin, K. 1984. Оцениваемая динамическая стохастическая модель рождаемости и детской смертности.

    Журнал политической экономии

    92: 852–874.

    CrossRefGoogle Scholar

Информация об авторских правах

Авторы и аффилированные лица

  1. Уравнения Беллмана | Автор: Xavier Geerinck

    Резюме

    Итак, что мы узнали до сих пор в наших статьях «Введение» и «Марковские свойства, цепочка, процесс вознаграждения и процесс принятия решений»?

    Изначально мы определили наши основные понятия:

    • Состояние: Как выглядит наша текущая среда?
    • Действие: Какие действия мы предпринимаем?
    • Политика: При выполнении действия $ a $ в состоянии $ s $, куда мы идем?

    После этого мы представили концепцию вознаграждения в нашем MRP

    • Немедленное вознаграждение $ R_t $: Мы хотим направить нашего агента к действию с наивысшим вознаграждением.* $, который максимизирует доход в каждом состоянии? .

      Для этого давайте представим нечто под названием Уравнения Беллмана .

      Уравнения Беллмана

      Введение

      Как написано в книге Саттона и Барто, уравнение Беллмана представляет собой подход к решению термина «оптимальное управление» . Это делается путем создания функционального уравнения , описывающего проблему проектирования контроллера, чтобы минимизировать меру поведения динамической системы во времени.. В этом подходе Беллмана используются концепции состояния и функции ценности, как мы видели ранее.

      Примечание: Функция значения, которую мы могли бы также записать как «функция оптимального возврата »

      Впоследствии этот класс методов для решения этих задач оптимального управления стал известен как динамическое программирование.

      Динамическое программирование: — это метод решения сложной проблемы путем разбиения ее на набор более простых подзадач, решения каждой из этих подзадач только один раз и сохранения их решений. \ pi (s) $ как рекурсивная связь между значением состояния и значением его последующих состояний .\ pi (s) = & \ mathbb {E} {\ pi} [G_t | S_t = s] \ = & \ mathbb {E} {\ pi} [r {t + 1} + \ gamma G {T + 1} | S_t = s] \ = & \ sum {a} \ pi (a | s) \ sum {s ‘, r} P (s’, r | s, a) [r + \ gamma \ mathbb {E} {\ pi} [G {t + 1} | S {t + 1} = s]] \ = & \ sum {a} \ pi (a | s) \ sum {s ‘, r} P (s’, r | s, a) [r + \ gamma v {\ pi} (s ‘) ], \ forall s \ in S \ end {выровнен} $$

      Примечание: Мы не будем вдаваться в подробности о том, как это работает, или о том, как это сделать, для получения более подробной информации об этом, не стесняйтесь читать статью. (s ‘, a’)] $

      Решение

      В следующей статье мы поговорим о некоторых алгоритмах, которые позволят нам решить проблему, называемую «GridWorld», позже.

      Список литературы

      % PDF-1.3 % 1 0 obj > endobj 3 0 obj > endobj 2 0 obj > endobj 4 0 obj > / XObject> / Шрифт> >> / MediaBox [0 0 594. 95996 840.95996] / Аннотации [81 0 R 82 0 R 83 0 R 84 0 R 85 0 R 86 0 R 87 0 R 88 0 R 89 0 R 90 0 R] / Содержание 91 0 руб. / StructParents 0 / Родитель 2 0 R >> endobj 5 0 obj > / Содержание 94 0 руб. >> endobj 6 0 obj > / Содержание 97 0 руб. >> endobj 7 0 объект > / Содержание 100 0 руб. >> endobj 8 0 объект > / Содержание 103 0 руб. >> endobj 9 0 объект > / Содержание 106 0 руб. >> endobj 10 0 obj > / Содержание 109 0 руб. >> endobj 11 0 объект > / Содержание 112 0 руб. >> endobj 12 0 объект > / Содержание 115 0 руб. >> endobj 13 0 объект > / Содержание 118 0 руб. >> endobj 14 0 объект > / Содержание 121 0 руб. >> endobj 15 0 объект > / Содержание 124 0 руб. >> endobj 16 0 объект > / Содержание 127 0 руб. >> endobj 17 0 объект > / Содержание 130 0 руб. >> endobj 18 0 объект > / Содержание 133 0 руб. >> endobj 19 0 объект > / Содержание 136 0 руб. >> endobj 20 0 объект > / Содержание 139 0 руб. >> endobj 21 0 объект > / Содержание 142 0 руб. >> endobj 22 0 объект > / Содержание 145 0 руб. >> endobj 23 0 объект > / Содержание 148 0 руб. >> endobj 24 0 объект > / Содержание 151 0 руб. >> endobj 25 0 объект > / Содержание 154 0 руб. >> endobj 26 0 объект > / Содержание 157 0 руб. >> endobj 27 0 объект > / Содержание 160 0 руб. >> endobj 28 0 объект > / Содержание 163 0 руб. >> endobj 29 0 объект > / Содержание 166 0 руб. >> endobj 30 0 объект > / Содержание 169 0 руб. >> endobj 31 0 объект > / Содержание 172 0 руб. >> endobj 32 0 объект > / Содержание 175 0 руб. >> endobj 33 0 объект > / Содержание 178 0 руб. >> endobj 34 0 объект > / Содержание 181 0 руб. >> endobj 35 0 объект > / Содержание 184 0 руб. >> endobj 36 0 объект > / Содержание 187 0 руб. >> endobj 37 0 объект > / Содержание 190 0 руб. >> endobj 38 0 объект > / Содержание 193 0 руб. >> endobj 39 0 объект > / Содержание 196 0 руб. >> endobj 40 0 объект > / Содержание 199 0 руб. >> endobj 41 0 объект > / Содержание 202 0 руб. >> endobj 42 0 объект > / Содержание 205 0 руб. >> endobj 43 0 объект > / Содержание 208 0 руб. >> endobj 44 0 объект > / Содержание 211 0 руб. >> endobj 45 0 объект > / Содержание 214 0 руб. >> endobj 46 0 объект > / Содержание 217 0 руб. >> endobj 47 0 объект > / Содержание 220 0 руб. >> endobj 48 0 объект > / Содержание 223 0 руб. >> endobj 49 0 объект > / Содержание 226 0 руб. >> endobj 50 0 объект > / Содержание 229 0 руб. >> endobj 51 0 объект > / Содержание 232 0 руб. >> endobj 52 0 объект > / Содержание 235 0 руб. >> endobj 53 0 объект > / Содержание 238 0 руб. >> endobj 54 0 объект > / Содержание 241 0 руб. >> endobj 55 0 объект > / Содержание 244 0 руб. >> endobj 56 0 объект > / Содержание 247 0 руб. >> endobj 57 0 объект > / Содержание 250 0 руб. >> endobj 58 0 объект > / Содержание 253 0 руб. >> endobj 59 0 объект > / Содержание 256 0 руб. >> endobj 60 0 obj > / Содержание 259 0 руб. >> endobj 61 0 объект > / Содержание 262 0 руб. >> endobj 62 0 объект > / Содержание 265 0 руб. >> endobj 63 0 объект > / Содержание 268 0 руб. >> endobj 64 0 объект > / Содержание 271 0 руб. >> endobj 65 0 объект > / Содержание 274 0 руб. >> endobj 66 0 объект > / Содержание 277 0 руб. >> endobj 67 0 объект > / Содержание 280 0 руб. >> endobj 68 0 объект > / Содержание 283 0 руб. >> endobj 69 0 объект > / Содержание 286 0 руб. >> endobj 70 0 объект > / Содержание 289 0 руб. >> endobj 71 0 объект > / Содержание 292 0 руб. >> endobj 72 0 объект > / Содержание [295 0 R 296 0 R] / Аннотации [297 0 R] >> endobj 73 0 объект > endobj 74 0 объект > endobj 75 0 объект > endobj 76 0 объект > транслировать xyp} h if & i22S4dIҤMIv1M6N2iCMdhJƷ | `cc | bԧ $> uCƦHZmp: ˫ ߻ Z ~ Ϯ} ww? ~ _R ​​

      Продолжение примеров оптимального управления: Беллман, динамическое программирование

      Уравнение состояния в дискретном времени

      Дискретное время решение похоже на динамическое программирование

      и шанс вспомнить, что у меня нет практики писать рекурсивные функции.Просто обдумывая проблему, вы начинаете с конца, с тривиального подслучая, и продолжаете добавлять слои. Но рекурсивная функция вроде как начинается с самого начала, и этот тривиальный случай является условием выхода. R не кажется очень эффективным с этими рекурсивными функциями, поэтому со временем это может стать подпрограммой C.

      Настройка проблемы

      Рассмотрим некоторое уравнение состояния с дискретным временем для (запаса рыбы, \ (x \)) при некотором управляющем параметре (вылов, \ (h \)):

      \ [x_ {t + 1} = f (x_t, h) \]

      У нас снова есть функция полезности \ (\ pi (h) \) для уменьшения отдачи от вылова рыбы.t \ pi (h) \]

      с учетом приведенного выше уравнения состояния и некоторых граничных условий \ (x_0 = X_0, \ qquad x_T = X_T \). Условия первого порядка:

      \ [U ‘(h_t) = \ beta U’ (h_ {t + 1}) F ‘(x_ {t + 1}) \ forall t \] и решение будет использовать подход динамического программирования следующей рекурсии

      \ [V (x_t) = \ max_h \ left (U (h) + \ beta V (x_ {t + 1}) \ right) \]

      Что подстановка в уравнение состояния дает нам:

      \ [V (x_t) = \ max_h \ left (U (h) + \ beta V (F (x_t)) \ right) \] Предположим дискретную модель в стиле Риккера: \ [x_ {t + 1} = f (x, h) = x \ exp \ left (\ alpha \ left (1- \ frac {x} {K} \ right) \ left (\ frac {xC} {K} \ right) \ right) — hx \]

      Формулировка в стиле Рикера по аналогии с нашей проблемой непрерывного времени, Алан предлагает, чтобы мы действительно рассмотрели случай Майерса и др. 2 \]

      Алгоритм может быть задан рекурсией,

       
      phi <- функция (x) 300
      
      J <- function (t, x) {
        если (t  

      Посмотреть полный код.

      , но это ужасно неэффективно.

      Простой справочник по динамическому программированию.

      Стохастическое оптимальное управление

      Похоже, здесь нужен подход динамического программирования. Полезная ссылка.

      многомерные уравнения состояния

      Могут ли они привести к колеблющимся решениям по мере увеличения числа уравнений состояния? Зависит от характера ограничений? Неравенство?

      Контрольный список шагов

      1. Решение простой краевой задачи коллокацией. Пример.

      2. Многочлен Чебичева коллокация

      3. Улов и промысловое усилие как управляющая переменная.

      4. Решение при границах неравенства

      5. Уравнения состояния в дискретном времени

      6. Стохастический контроль

      7. Трехмерная система Parrotfish, двумерная система Хорана. См. (Mumby et al. 2007), (Blackwood et al. 2010) (Horan et al. 2011)

      8. Неопределенность

      Список литературы

      • Майерс Р., Барроумен Н., Хатчингс Дж. И Розенберг А. (1995). «Динамика популяции эксплуатируемых рыбных запасов при низких уровнях популяции». Наука , 269 . ISSN 0036-8075, https://dx.doi.org/10.1126/science.269.5227.1106.

      • Мамби П., Гастингс А. и Эдвардс Н. (2007). «Пороги и устойчивость карибских коралловых рифов». Природа , 450 .ISSN 0028-0836, https://dx.