Динамическое программирование это метод оптимизации многошаговых задач в условиях: ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Содержание

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

показатели эффективности на отдельных шагах — через

fi , i =

1, m

.

Если B обладает свойством аддитивности, т.е.

 

 

 

m

 

 

 

B = ∑ fi (xi ) ,

(3.1)

i=1

 

 

 

то можно найти оптимальное решение задачи методом динамического программирования.

Таким образом, динамическое программирование — это метод оптимизации многошаговых или многоэтапных процессов, критерий эффективности которых обладает свойством (3.1). В задачах динамического программирования критерий эффективности называется выигрышем. Данные процессы управляемые, и от правильного выбора управления зависит величина выигрыша.

Переменная xi , от которой зависят выигрыш на i -м шаге и, следовательно, выигрыш в целом, называется шаговым управлением, i =1, m .

Управлением процесса в целом (x) называется последовательность шаговых управлений x = (x1 , x2 ,…, xm ) .

Оптимальное управление x — это значение управления x , при котором значение B(x ) является максимальным (или минимальным,

если требуется уменьшить проигрыш)

 

B = B(x ) = max{B(x)}, x X ,

(3.2)

где X ─ область допустимых управлений.

Оптимальное управление x определяется последовательностью оптимальных шаговых управлений x = (x1 , x2 ,…, xm ) .

В основе метода динамического программирования лежит принцип оптимальности Беллмана, формулирующийся следующим образом: управление на каждом шаге надо выбирать так, чтобы оптимальной была сумма выигрышей на всех оставшихся до конца процесса шагах, включая выигрыш на данном шаге.

Поясним это правило. При решении задачи динамического программирования на каждом шаге выбирается управление, которое должно привести к оптимальному выигрышу. Если считать все шаги независимыми друг от друга, то оптимальным шаговым управлением будет то управление, которое приносит максимальный выигрыш именно на данном шаге. Но, например, при покупке новой техники взамен устаревшей на ее приобретение затрачиваются определенные

Метод динамического программирования управление запросами. Введение в динамическое программирование

РЕФЕРАТ

«Методы динамического

программирования».

ВВЕДЕНИЕ

В наше время наука уделяет все большое внимание вопросам организации и управления, это приводит к необходимости анализа сложных целенаправленных процессов под углом зрения их структуры и организации. Потребности практики вызвали к жизни специальные методы, которые удобно объединять под названием «исследование операций».

Под этим термином понимается применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.

Целью исследования операций является выявление наилучшего способа действия при решении той или иной задачи. Главная роль при этом отводится математическому моделированию. Для построения математической модели необходимо иметь строгое представление о цели функционирования исследуемой системы и располагать информацией об ограничениях, которые определяют область допустимых значений. Цель и ограничения должны быть представлены в виде функций.

В моделях исследования операций переменные, от которых зависят ограничения и целевая функция, могут быть дискретными (чаще всего целочисленными) и континуальными (непрерывными). В свою очередь, ограничения и целевая функция делятся на линейные и нелинейные. Существуют различные методы решения данных моделей, наиболее известными и эффективными из них являются методы линейного программирования, когда целевая функция и все ограничения линейные. Для решения математических моделей других типов предназначены методы динамического программирования, целочисленного программирования, нелинейного программирования, многокритериальной оптимизации и методы сетевых моделей.

Практически все методы исследования операций порождают вычислительные алгоритмы, которые являются итерационными по своей природе. Это подразумевает, что задача решается последовательно (итерационно), когда на каждом шаге (итерации) получаем решение, постепенно сходящиеся к оптимальному решению.

Итерационная природа алгоритмов обычно приводит к объемным однотипным вычислениям. В этом и заключается причина того, что эти алгоритмы разрабатываются, в основном, для реализации с помощью вычислительной техники.

    ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Динамическое программирование – это математический метод поиска оптимального управления, специально приспособленный к многошаговым процессам. Рассмотрим пример такого процесса.

Пусть планируется деятельность группы предприятий на N лет. Здесь шагом является один год. В начале 1-го года на развитие предприятий выделяются средства, которые должны быть как-то распределены между этими предприятиями. В процессе их функционирования выделенные средства частично расходуются. Каждое предприятие за год приносит некоторый доход, зависящий от вложенных средств. В начале года имеющиеся средства могут перераспределяться между предприятиями: каждому из них выделяется какая-то доля средств.

Ставится вопрос: как в начале каждого года распределять имеющиеся средства между предприятиями, чтобы суммарный доход от всех предприятий за N лет был максимальным?

Перед нами типичная задача динамического программирования, в которой рассматривается управляемый процесс – функционирование группы предприятий. Управление процессом состоит в распределении (и перераспределении) средств. Управляющим воздействием (УВ) является выделение каких-то средств каждому из предприятий в начале года.

УВ на каждом шаге должно выбираться с учетом всех его последствий в будущем. УВ должно быть дальновидным, с учетом перспективы. Нет смысла выбирать на рассматриваемом шаге наилучшее УВ, если в дальнейшем это помешает получить наилучшие результаты других шагов. УВ на каждом шаге надо выбирать “ c заглядыванием в будущее”, иначе возможны серьезные ошибки.

Действительно, предположим, что в рассмотренной группе предприятий одни заняты выпуском предметов потребления, а другие производят для этого машины. Причем целью является получение за N лет максимального объема выпуска предметов потребления. Пусть планируются капиталовложения на первый год. Исходя их узких интересов данного шага (года), мы должны были бы все средства вложить в производство предметов потребления, пустить имеющиеся машины на полную мощность и добиться к концу года максимального объема продукции. Но правильным ли будет такое решение в целом? Очевидно, нет. Имея в виду будущее, необходимо выделить какую-то долю средств и на производство машин.

При этом объем продукции за первый год, естественно, снизится, зато будут созданы условия, позволяющие увеличивать ее производство в последующие годы.

В формализме решения задач методом динамического программирования будут использоваться следующие обозначения:

N – число шагов.

– вектор, описывающий состояние системы на k -м шаге.

– начальное состояние, т. е. c остояние на 1-м шаге.

– конечное состояние, т. е. cостояние на последнем шаге.

X k – область допустимых состояний на k -ом шаге.

– вектор УВ на k -ом шаге, обеспечивающий переход системы из состояния x k -1 в состояние x k .

U k – область допустимых УВ на k -ом шаге.

W k – величина выигрыша, полученного в результате реализации k -го шага.

S – общий выигрыш за N шагов.

– вектор оптимальной стратегии управления или ОУВ за N шагов.

S k +1 ( ) – максимальный выигрыш, получаемый при переходе из любого состояния в конечное состояние при оптимальной стратегии управления начиная с (k +1)-го шага.

S 1 ( ) – максимальный выигрыш, получаемый за N шагов при переходе системы из начального состояния в конечное при реализации оптимальной стратегии управления . Очевидно, что S = S 1 ( ), если –фиксировано.

Метод динамического программирования опирается на условие отсутствия последействия и условие аддитивности целевой функции.

Условие отсутствия последействия . Состояние , в которое перешла система за один k -й шаг, зависит от состояния и выбранного УВ и не зависит от того, каким образом система пришла в состояние , то есть

Аналогично, величина выигрыша W k зависит от состояния и выбранного УВ , то есть

Условие аддитивности целевой функции. Общий выигрыш за N шагов вычисляется по формуле

Определение. Оптимальной стратегией управления называется совокупность УВ , то есть , в результате реализации которых система за N шагов переходит из начального состояния в конечное и при этом общий выигрыш S принимает наибольшее значение.

Условие отсутствия последействия позволяет сформулировать принцип оптимальности Белмана.

Принцип оптимальности.

Каково бы ни было допустимое состояние системы перед очередным i -м шагом, надо выбрать допустимое УВ на этом шаге так, чтобы выигрыш W i на i -м шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был максимальным.

В качестве примера постановки задачи оптимального управления продолжим рассмотрение задачи управления финансированием группы предприятий. Пусть в начале i -го года группе предприятий выделяются соответственно средства: совокупность этих значений можно считать управлением на i -м шаге, то есть . Управление процессом в целом представляет собой совокупность всех шаговых управлений, то есть .

Управление может быть хорошим или плохим, эффективным или неэффективным. Эффективность управления оценивается показателем S . Возникает вопрос: как выбрать шаговые управления , чтобы величина S обратилась в максимум?

Поставленная задача является задачей оптимального управления, а управление, при котором показатель S достигает максимума, называется оптимальным. Оптимальное управление многошаговым процессом состоит из совокупности оптимальных шаговых управлений:

Таким образом, перед нами стоит задача: определить оптимальное управление на каждом шаге (i=1,2,… N) и, значит, оптимальное управление всем процессом .

    ИДЕИ МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Мы отметили, что планируя многошаговый процесс, необходимо выбирать УВ на каждом шаге с учетом его будущих последствий на еще предстоящих шагах. Однако, из этого правила есть исключение. Среди всех шагов существует один, который может планироваться без «заглядывания в будущее». Какой это шаг? Очевидно, последний — после него других шагов нет. Этот шаг, единственный из всех, можно планировать так, чтобы он как таковой принес наибольшую выгоду. Спланировав оптимально этот последний шаг, можно к нему пристраивать предпоследний, к предпоследнему — предпредпоследний и т.д.

Поэтому процесс динамического программирования на 1-м этапе разворачивается от конца к началу, то есть раньше всех планируется последний,

N -й шаг. А как его спланировать, если мы не знаем, чем кончился предпоследний? Очевидно, нужно сделать все возможные предположения о том, чем кончился предпоследний, ( N — 1)-й шаг, и для каждого из них найти такое управление, при котором выигрыш (доход) на последнем шаге был бы максимален. Решив эту задачу, мы найдем условно оптимальное управление (УОУ) на N -м шаге, т.е. управление, которое надо применить, если (N — 1)-й шаг закончился определенным образом.

Предположим, что эта процедура выполнена, то есть для каждого исхода ( N — 1)-го шага мы знаем УОУ на N- м шаге и соответствующий ему условно оптимальный выигрыш (УОВ). Теперь мы можем оптимизировать управление на предпоследнем, (N — 1)-м шаге. Сделаем все возможные предположения о том, чем кончился предпредпоследний, то есть ( N — 2)-й шаг, и для каждого из этих предположений найдем такое управление на (N — 1)-м шаге, чтобы выигрыш за последние два шага (из которых последний уже оптимизирован) был максимален. Далее оптимизируется управление на (N — 2)-м шаге, и т.д.

Одним словом, на каждом шаге ищется такое управление, которое обеспечивает оптимальное продолжение процесса относительно достигнутого в данный момент состояния. Этот принцип выбора управления, называется принципом оптимальности. Самоуправление, обеспечивающее оптимальное продолжение процесса относительно заданного состояния, называется УОУ на данном шаге.

Теперь предположим, что УОУ на каждом шаге нам известно: мы знаем, что делать дальше, в каком бы состоянии ни был процесс к началу каждого шага. Тогда мы можем найти уже не «условное», а действительно оптимальное управление на каждом шаге. |

Действительно, пусть нам известно начальное состояние процесса. Теперь мы уже знаем, что делать на первом шаге: надо применить УОУ, найденное для первого шага и начального состояния. В результате этого управления после первого шага система перейдет в другое состояние; но для этого состояния мы знаем УОУ и т.д. Таким образом, мы найдем оптимальное управление процессом, приводящее к максимально возможному выигрышу.

Таким образом, в процессе оптимизации управления методом динамического программирования многошаговый процесс «проходится» дважды:

— первый раз — от конца к началу, в результате чего находятся УОУ на каждом шаге и оптимальный выигрыш (тоже условный) на всех шагах, начиная с данного и до конца процесса;

    второй раз — от начала к концу, в результате чего находятся оптимальные управления на всех шагах процесса.

Можно сказать, что процедура построения оптимального управления

методом динамического программирования распадается на две стадии:

Предварительную;

Окончательную.

На предварительной стадии для каждого шага определяется УОУ, зависящее от состояния системы (достигнутого в результате предыдущих шагов), и условно оптимальный выигрыш на всех оставшихся шагах, начиная с данного, также зависящий от состояния. На окончательной стадии определяется (безусловное) оптимальное управление для каждого шага. Предварительная (условная) оптимизация производится по шагам в обратном порядке: от последнего шага к первому; окончательная (безусловная) оптимизация — также по шагам, но в естественном порядке: от первого шага к последнему. Из двух стадий оптимизации несравненно более важной и трудоемкой является первая. После окончания первой стадии выполнение второй трудности не представляет: остается только «прочесть» рекомендации, уже заготовленные на первой стадии.

    Примеры задач динамического программирования

Большинство методов исследования операций связано в первую очередь с задачами вполне определенного содержания. Классический аппарат математики оказался малопригодным для решения многих задач оптимизации, включающих большое число переменных и/или ограничений в виде неравенств. Несомненна привлекательность идеи разбиения задачи большой размерности на подзадачи меньшей размерности, включающие всего несколько переменных, и последующего решения общей задачи по частям.

Именно на этой идее основан метод динамического программирования.

Динамическое программирование (ДП) представляет собой математический метод, заслуга создания и развития которого принадлежит прежде всего Беллману. Метод можно использовать для решения весьма широкого круга задач, включая задачи распределения ресурсов, замены и управления запасами, задачи о загрузке. Характерным для динамического программирования является подход к решению задачи по этапам, с каждым из которых ассоциирована одна управляемая переменная. Набор рекуррентных вычислительных процедур, связывающих различные этапы, обеспечивает получение допустимого оптимального решения задачи в целом при достижении последнего этапа.

Происхождение названия динамическое программирование , вероятно, связано с использованием методов ДП в задачах принятия решений через фиксированные промежутки времени (например, в задачах управления запасами). Однако методы ДП успешно применяются также для решения задач, в которых фактор времени не учитывается. По этой причине более удачным представляется термин многоэтапное программирование, отражающий пошаговый характер процесса решения задачи.

Фундаментальным принципом, положенным в основу теории ДП, является принцип оптимальности. По существу, он определяет порядок поэтапного решения допускающей декомпозицию задачи (это более приемлемый путь, чем непосредственное решение задачи в исходной постановке) с помощью рекуррентных вычислительных процедур.

Динамическое программирование позволяет осуществлять оптимальное планирование управляемых процессов. Под «управляемыми» понимаются процессы, на ход которых мы можем в той или другой степени влиять.

Пусть предполагается к осуществлению некоторое мероприятие или серия мероприятий («операция»), преследующая определенную цель. Спрашивается: как нужно организовать (спланировать) операцию для того, чтобы она была наиболее эффективной? Для того, чтобы поставленная задача приобрела количественный, математический характер, необходимо ввести в рассмотрение некоторый численный критерий W , которым мы будем характеризовать качество, успешность, эффективность операции. Критерий эффективности в каждом конкретном случаи выбирается исходя из целевой направленности операции и задачи исследования (какой элемент управления оптимизируется и для чего).

Сформулируем общий принцип, лежащий в основе решения всех задач динамического программирования («принцип оптимальности»):

«Каково бы ни было состояние системы S перед очередным шагом, надо выбрать управление на этом шаге так, чтобы выигрыш на данном шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был максимальным».

Динамическое программирование – это поэтапное планирование многошагового процесса, при котором на каждом этапе оптимизируется только один шаг. Управление на каждом шаге должно выбираться с учетом всех его последствий в будущем.

При постановке задач динамического программирования следует руководствоваться следующими принципами:

    Выбрать параметры (фазовые координаты), характеризующие состояние S управляемой системы перед каждым шагом.

    Расчленить операцию на этапы (шаги).

    Выяснить набор шаговых управлений xi для каждого шага и налагаемые на них ограничения.

    Определить какой выигрыш приносит на i-ом шаге управление xi, если перед этим система была в состоянии S, т. е. записать «функцию выигрыша»:

    Определить, как изменяется состояние S системы S под влиянием управление xi на i-ом шаге: оно переходит в новое состояние

. (1.1)

    Записать основное рекуррентное уравнение динамического программирования, выражающее условный оптимальный выигрыш W i ( S ) (начиная с i -го шага и до конца) через уже известную функцию W i +1 ( S ):

. (1.2)

Этому выигрышу соответствует условное оптимальное управление на i -м шаге x i ( S ) (причем в уже известную функцию W i +1 ( S ) надо вместо S подставить измененное состояние

Заметим, что если состояние системы в начальный момент известно (а это обычно бывает так), то на первом шаге варьировать состояние системы не нужно — прямо находим оптимальный выигрыш для данного начального состояния S 0 . Это и есть оптимальный выигрыш за всю операцию

Данные этапы рассматривались для аддитивных задач, в которых выигрыш за всю операцию равен сумме выигрышей на отдельных шагах. Метод динамического программирования применим также и к задачам с так называемым «мультипликативным» критерием, имеющим вид произведения:

(если только выигрыши w i положительны). Эти задачи решаются точно так же, как задачи с аддитивным критерием, с той единственной разницей, что в основном уравнении (1.2) вместо знака «плюс» ставится знак «умножения»:

3.1. Задача планирования рабочей силы

При выполнении некоторых проектов число рабочих, необходимых для выполнения какого-либо проекта, регулируется путем их найма и увольнения. Поскольку как наем, так и увольнение рабочих связано с дополнительными затратами, необходимо определить, каким образом должна регулироваться численность рабочих в период реализации проекта.

Предположим, что проект будет выполняться в течение n недель и минимальная потребность в рабочей силе на протяжении i -й недели составит b i рабочих. При идеальных условиях хотелось бы на протяжении i -й недели иметь в точности b i рабочих. Однако в зависимости от стоимостных показателей может быть более выгодным отклонение численности рабочей силы как в одну, так и в другую сторону от минимальных потребностей.

Если x i i -й недели, то возможны затраты двух видов: 1) С 1 ( x i — b i )-затраты, связанные с необходимостью содержать избыток x i — b i рабочей силы и 2) С 2 ( x i — x i -1 )-затраты, связанные с необходимостью дополнительного найма (x i — x i -1 ) рабочих.

Элементы модели динамического программирования определяются следующим образом:

    Этап і представляется порядковым номером недели і , і =1,2,… n .

    Вариантами решения на і -ом этапе являются значения x i – количество работающих на протяжении і- й недели.

    Состоянием на і-м этапе является x i -1 – количество работающих на протяжении (і- 1) –й недели (этапа).

Рекуррентное уравнение динамического программирования представляется в виде:

где

Вычисления начинаются с этапа n при x n = b n и заканчиваются на этапе 1.

3.2. Задача замены оборудования

Чем дольше механизм эксплуатируется, тем выше затраты на его обслуживание и ниже его производительность. Когда срок эксплуатации механизма достигает определенного уровня, может оказаться более выгодной его замена. Задача замены оборудования, таким образом, сводится к определению оптимального срока эксплуатации механизма.

Предположим, что мы занимаемся заменой механизмов на протяжении n лет. В начале каждого года принимается решение либо об эксплуатации механизма еще один год, либо о замене его новым.

Обозначим через r ( t ) и c ( t ) прибыль от эксплуатации t -летнего механизма на протяжении года и затраты на его обслуживание за этот же период. Далее пусть s ( t ) – стоимость продажи механизма, который эксплуатировался t лет. Стоимость приобретения нового механизма остается неизменной на протяжении всех лет и равна l .

Элементы модели динамического программирования таковы:

    Этап і представляется порядковым номером года і, і=1,2,. .. n .

    Вариантами решения на і -м этапе (т.е. для і -ого года) являются альтернативы: продолжить эксплуатацию или заменить механизм в начале і- ого года.

    Состоянием на і -м этапе является срок эксплуатации t (возраст) механизма к началу і -ого года.

Пусть f i ( t )-максимальная прибыль, получаемая за годы от і до n при условии, что в начале і- ого года имеется механизм t -летнего возраста.

Рекуррентное уравнение имеет следующий вид:

(1)-если эксплуатировать механизм,

(2)-если заменить механизм.

3.3. Задача инвестирования

Предположим, что в начале каждого из следующих n лет необходимо сделать инвестиции P 1 , P 2 ,…, P n соответственно. Вы имеете возможность вложить капитал в два банка: первый банк выплачивает годовой сложный процент r 1 , а второй — r 2 . Для поощрения депозитов оба банка выплачивают новым инвесторам премии в виде процента от вложенной суммы.

Премиальные меняются от года к году, и для і -ого года равны q i 1 и q i 2 в первом и втором банках соответственно. Они выплачиваются к концу года, на протяжении которого сделан вклад, и могут быть инвестированы в один из двух банков на следующий год. Это значит, что лишь указанные проценты и новые деньги могут быть инвестированы в один из двух банков. Размещенный в банке вклад должен находиться там до конца рассматриваемого периода. -1) -го года.

Пусть f i (x i )- оптимальная сумма инвестиций для интервала от і-го до n -го года при условии, что в начале і-го года имеется денежная сумма x i n -й год являются частью накопленной денежной суммы от инвестиций, в выражения для s n добавлены q n 1 и q n 2 .

Итак, в данном случае рекуррентное уравнение для обратной прогонки в алгоритме динамического программирования имеет вид

где x i +1 выражается через x i в соответствии с приведенной выше формулой, а f n +1 (x n +1 )=0.

4. Общая структура динамического программирования

Отыскание оптимальной стратегии принятия набора последовательных решений, в большинстве случаях, производится следующим образом: сначала осуществляется выбор последнего во времени решения, затем при движении в направлении, обратном течению времени, выбираются все остальные решения вплоть до исходного.

Для реализации такого метода необходимо выяснить все ситуации, в которых может происходить выбор последнего решения. Обычно условия, в которых принимается решение, называют «состоянием» системы. Состояние системы – это описание системы, позволяющее, учитывая будущие решения, предсказать ее поведение. Нет необходимости выяснять, как возникло то ил иное состояние или каковы были предшествующие решения. Это позволяет последовательно выбирать всего по одному решению в каждый момент времени. Независимо от того, отыскивают оптимальные решения с помощью табличного метода и последующего поиска или аналитическим путем, обычно быстрее и выгоднее производить выбор по одному решению в один момент времени, переходя затем к следующему моменту и т. д. К сожалению, таким методом можно исследовать не все процессы принятия решений. Необходимым условием применения метода динамического программирования является аддитивность цен всех решений, а также независимость будущих результатов от предыстории того или иного состояния.

Если число решений очень велико, то можно построить относительные оценки состояний так, чтобы оценки, отвечающие каждой паре последовательных решений, отличались друг от друга на постоянную величину, представляющую собой средний «доход» на решение. Также можно выполнять дисконтирование доходов от будущих решений. Необходимость в этом иногда появляется в том случае, когда решение принимаются редко, скажем раз в году. Тогда уже не нужно рассматривать последовательно 1,2,3…решения, чтобы достичь решения с большим номером. Вместо этого можно непосредственно оперировать функциональным уравнением, что, как правило, дает существенную выгоду с точки зрения сокращения объема вычислений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Можно выделить, по крайней мере, четыре аспекта применения динамических методов в решении практических проблем.

1. Совершенствование системы экономической информации. Динамические методы позволяют упорядочить систему экономической информации, выявлять недостатки в имеющейся информации и вырабатывать требования для подготовки новой информации или ее корректировки. Разработка и применение экономико-математических моделей указывают пути совершенствования экономической информации, ориентированной на решение определенной системы задач планирования и управления. Прогресс в информационном обеспечении планирования и управления опирается на бурно развивающиеся технические и программные средства информатики.

2. Интенсификация и повышение точности экономических расчетов. Формализация экономических задач и применение ЭВМ многократно ускоряют типовые, массовые расчеты, повышают точность и сокращают трудоемкость, позволяют проводить многовариантные экономические обоснования сложных мероприятий, недоступные при господстве «ручной» технологии.

3. Углубление количественного анализа экономических проблем. Благодаря применению метода динамического программирования значительно усиливаются возможности конкретного количественного анализа, изучение многих факторов, оказывающих влияние на экономические процессы, количественная оценка последствий изменения условий развития экономических объектов и т.п.

Сфера практического применения данных методов ограничивается возможностями и эффективностью формализации экономических проблем и ситуаций, а также состоянием информационного, математического, технического обеспечения используемых моделей. Стремление во что бы то ни стало, применить математическую модель может не дать хороших результатов из-за отсутствия хотя бы некоторых необходимых условий.

В соответствии с современными научными представлениями системы разработки и принятия хозяйственных решений должны сочетать формальные и неформальные методы, взаимоусиливающие и взаимодополняющие друг друга. Формальные методы являются, прежде всего, средством научно обоснованной подготовки материала для действий человека в процессах управления. Это позволяет продуктивно использовать опыт и интуицию человека, его способности решать плохо формализуемые задачи.

Применение динамического программирования для моделирования процессов принятия решений

В основе метода динамического программирования лежит принцип оптимальности, впервые сформулированный в 1953 г. американским математиком Р. Э. Беллманом: каково бы ни было состояние системы (S) в результате какого-либо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая выигрыш на данном шаге. При решении задачи на каждом шаге выбирается управление, которое должно привести к оптимальному выигрышу. Если считать все шаги независимыми, тогда оптимальным управлением будет то управление, которое обеспечит максимальный выигрыш именно на данном шаге.

Метод динамического программирования включает три основных этапа:

Предварительный этап.

Этап условной оптимизации.

Этап безусловной оптимизации.

Предварительный этап проводится с целью уменьшения вычислительной работы на последующем этапе решения и, по существу, заключается в нахождении всех допустимых значение управлений и фазовых переменных. Иными словами, на данном этапе отбрасываются все заведомо неподходящие, нереализуемые значения фазовых и управляющих переменных. Проводится предварительный этап в естественном порядке от первого шага к последнему: i = 1, 2, … , N, а опираются соответствующие расчеты на уровне процесса

Этап условной оптимизации. На данном этапе решения задачи, называемом условной оптимизацией, определяются функция Беллмана и оптимальные управления для всех возможных состояний на каждом шаге, начиная с последнего в соответствии с алгоритмом обратной прогонки. На последнем, n-м шаге, оптимальное управление — определяется функцией Беллмана (1.1):

Этот максимум (или минимум) определяется по всем возможным для k и S значениям переменной управления X.

Безусловная оптимизация. После того, как функция Беллмана и соответствующие оптимальные управления найдены для всех шагов с n-го по первый, осуществляется третий этап решения задачи, называемый безусловной оптимизацией. Пользуясь тем, что на первом шаге (k = 1) состояние системы известно — это ее начальное состояние, можно найти оптимальный результат за все n шагов и оптимальное управление на первом шаге которое этот результат доставляет. После применения этого управления система перейдет в другое состояние, зная которое, можно, пользуясь результатами условной оптимизации, найти оптимальное управление на втором шаге, и так далее до последнего n-го шага. Вычислительную схему динамического программирования можно строить на сетевых моделях, а также по алгоритмам прямой прогонки (от начала) и обратной прогонки (от конца к началу).

Порядок расчетов в методе динамического программирования может быть проиллюстрирован схемой (табл. 1.1), в которой точками обозначены состояния системы.

Таблица 1.1

Порядок расчетов в методе динамического программирования

Виды математических моделей, используемых в экономике

Общая задача оптимизации, чтобы ее можно было описать моделью ДП должна удовлетворять следующим условиям: 1. Задача может интерпретироваться как n-шаговый процесс управления…

Динамическое программирование

Задача о выборе наиболее экономного маршрута доставки груза. На данной сети дорог имеется несколько маршрутов, по которым можно доставлять груз из пункта 1 в пункт 10 (рис. 1)…

Использование метода динамического программирования для решения экономических задач

Динамическое программирование — метод оптимизации, приспособленный к операциям, в которых процесс принятия решений может быть разбит на отдельные этапы (шаги). Такие операции называют многошаговыми…

Классификация математических моделей, используемых в экономике и менеджменте

Общая задача оптимизации, чтобы ее можно было описать моделью ДП должна удовлетворять следующим условиям: Задача может интерпретироваться как n-шаговый процесс управления. ..

Классификация экономико-математических методов и моделей

Рассматривается управляемая система, которая под влиянием управления переходит из начального состояния в конечное состояние. Предположим, что процесс управления системой можно разбить на n шагов. Пусть — состояния системы после 1-го, 2-го, ……

Планирование производства и управления инвестиционными ресурсами

Динамическое программирование — методы и модели оптимизации, когда процесс принятия оптимального решения может быть разбит на этапы (шаги)…

Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, который подходит к решению некоторого класса задач путем их разложения на части, небольшие и менее сложные задачи…

Применение динамического программирования для моделирования процессов принятия решений

Применение динамического программирования для моделирования процессов принятия решений

Распределение инвестиций между предприятиями: «Малышок», «Ронда», «Товиус», «Сластёна», «Читек»

Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, разработанный для эффективного решения некоторого класса задач математического программирования. ..

Распределение средств между предприятиями: ОАО «Весёлый молочник», ОАО «Нижнекамская пищевая компания», ООО «Сэлдом», ООО «СтойКом», ОАО «Счастье»

Динамическое программирование (ДП) — метод оптимизации, приспособленный к операциям, в которых процесс принятия решения может быть разбит на этапы (шаги). Такие операции называются многошаговыми. Начало развития ДП относится к 50-м годам XX в…

Трендовые и корреляционные модели

Делим динамический ряд 1 на количество частей, равное количеству неизвестных коэффициентов выравнивающей функции…

Экономические модели зависимости величины активов, подверженных кредитному риску, от пассивов, прибыли (убытков), ВВП

На первом этапе необходимо построить уравнение парной линейной регрессии. Эмпирическое уравнение парной линейной регрессии имеет следующий вид: (1) где Y — объясняемая переменная, X — объясняющая переменная, е — случайная величина (ошибка)…

Среди задач, решаемых с помощью математического программирования, можно выделить отдельный класс задач, требующих оптимизации многошаговых (многоэтапных) процессов. Такие задачи отличаются возможностью разбиения решения на несколько взаимосвязанных этапов. Для решения подобных задач используется динамическое программирование или, как его еще называют, многоэтапное программирование. Его методы оптимизированы для поиска оптимального решения многошаговых задач, которые можно разделить на несколько этапов, шагов и т. д.

Происхождение термина

Использование в названии слова «динамический» первоначально предполагало, что разделение на подзадачи будет происходить в основном во времени. При использовании динамических методов для решения производственных, хозяйственных и иных задач, в которых фигурирует временной фактор, разбивание на отдельные этапы не составляет труда. Но использовать технику динамического программирования возможно и в задачах, где отдельные этапы не связаны по времени. Всегда в многошаговой задаче можно выделить параметр или свойство, по которому можно произвести разделение на отдельные шаги.

Алгоритм (метод) решения многоэтапных задач

Алгоритм илиметод динамического программирования основан на использовании принципа последовательного оптимизирования задачи, когда решение общей задачи разбивается на ряд решений отдельных подзадач с последующим объединением в единое решение. Очень часто отдельные подзадачи оказываются одинаковыми, и одно общее решение значительно сокращает время расчета.

Особенностью метода является автономность решения задачи на каждом отдельном этапе, т. е. независимо от того, как оптимизировался и решался процесс на предыдущем этапе, в текущем расчете используются только параметры процесса, характеризующие его в данный момент. Например, водитель, двигающийся по дороге, принимает решение о текущем повороте независимо от того, как и сколько он ехал до этого.

Метод сверху и метод снизу

Несмотря то что при расчете на отдельном этапе решения задачи используются параметры процесса на текущий момент, результат оптимизации на предыдущем этапе влияет на расчеты последующих этапов для достижения наилучшего результата в целом. Динамическое программирование называет такой принцип решения методом оптимальности, который определяет, что оптимальная стратегия решения задачи вне зависимости от начальных решений и условий должна последующими решениями на всех этапах составить оптимальную стратегию относительно первоначального состояния. Как видим, процесс решения задачи представляет собой непрерывную оптимизацию результата на каждом отдельном этапе от первого до последнего. Такой метод называется методом программирования сверху. На рисунке схематически показан алгоритм решения сверху вниз. Но существует класс многошаговых задач, в которых максимальный эффект на последнем этапе уже известен, например, мы уже приехали из пункта А в пункт Б и теперь хотим узнать, правильно мы ехали на каждом предыдущем этапе или можно было что-то сделать более оптимально. Возникает рекурсивная последовательность этапов, т. е. мы идем как бы «от обратного». Этот метод решения получил название «метод программирования снизу».

Практическое применение

Динамическое программирование может использоваться в любой сфере деятельности, где присутствуют процессы, которые можно по какому-либо параметру (время, сумма, температура и т. д.) разделить на ряд одинаковых небольших этапов. Наибольшее применение динамические способы решения получили в теории управления и при разработке вычислительных систем.

Поиск оптимального пути

С помощью динамической оптимизации возможно решение широкого класса задач по нахождению или оптимизации кратчайшего пути и других задач, в которых «классический» метод перебора возможных вариантов решения приводит к увеличению времени расчета, а иногда вообще неприемлем. Классическая задача динамического программирования — это задача о рюкзаке: дано некоторое количество предметов с определенной массой и стоимостью, и необходимо выбрать набор предметов с максимальной стоимостью и массой, не превосходящий объем рюкзака. Классический перебор всех вариантов в поисках оптимального решения займет значительное время, а с помощью динамических методов задача решается в приемлемые сроки. Задачи поиска кратчайшего пути для транспортной логистики являются основными, и динамические методы решения оптимально подходят для их решения. Наиболее простым примером такой задачи является построение кратчайшего маршрута автомобильным GPS-навигатором.

Производство

Динамическое программирование широко используется при решении разнообразных производственных задач, таких как управление складскими запасами для поддержания нужного количества комплектующих в любой момент времени, календарное планирование производственного процесса, текущий и капитальный ремонт оборудования, равномерная загрузка персонала, максимально эффективное распределение инвестиционных средств и т. д. Для решения производственных задач методами динамического программирования разработаны специальные программные пакеты, интегрированные в популярные системы управления предприятиями, такие как SAP.

Научная сфера

Методы динамического программирования широко применяются в различных научных исследованиях. Например, они успешно используются в алгоритмах распознавания речи и образов, при обработке больших массивов данных в социологии и

Динамическое программирование (иначе «динамическое планирование») есть особый метод оптимизации решений, специально приспособленный к так называемым «многошаговым» (пли «многоэтапным») операциям.

Представим себе некоторую операцию Ơ, распадающуюся на ряд последовательных «шагов» или «этапов»,- например, деятельность отрасли промышленности в течение ряда хозяйственных лет; или же преодоление группой самолетов нескольких полос противовоздушной обороны; или же последовательность тестов, применяемых при контроле аппаратуры. Некоторые операции (подобно выше приведенным) расчленяются на шаги естественно; в некоторых членение приходится вводить искусственно — скажем, процесс наведения ракеты на цель можно условно разбить на этапы, каждый из которых занимает какое-то время .

Итак, рассмотрим операцию Ơ , состоящую из Т Шагов (этапов). Пусть эффективность операции характеризуется каким-то показателем W , который мы для краткости будем в этой главе называть «выигрышем». Предположим, что выигрыш W за всю операцию складывается из выигрышей на отдельных шагах:

Где Wi выигрыш на I -м шаге.

Если W обладает таким свойством, то его называют «аддитивным критерием».

Операция О, о которой идет речь, представляет собой управляемый процесс, т. е. мы можем выбирать какие-то параметры, влияющие на его ход и исход, причем на каждом шаге выбирается какое-то решение, от которого зависит выигрыш на данном шаге и выигрыш за операцию в целом. Будем называть это решение «шаговым управлением». Совокупность всех шаговых управлений представляет собой управление операцией в целом. Обозначим его буквой Х, а шаговые управления — буквами Х1, х2, …, Xm :

X = (X 1 , X 2 , …, Xm ). (12.2)

Следует иметь в виду, что Х1, х2, …., Xm в общем случае — не числа, а, может быть, векторы, функции и т. д.

Требуется найти такое управление Х, при котором выигрыш W обращается в максимум:

То управление Х*, при котором этот максимум достигается, будем называть оптимальным управлением. Оно состоит из совокупности оптимальных шаговых управлений:

Х* = (). (12.4)

Тот максимальный выигрыш, который достигается при этом управлении, мы будем обозначать W* :

W* = {W (х) }. (12.5)

Формула (12.5) читается так: величина W * есть максимум из всех W { X } при разных управлениях Х (максимум берется по всем управлениям Х, возможным в данных условиях). Иногда это последнее оговаривается в формуле и пишут:

Рассмотрим несколько примеров многошаговых операций и для каждого из них поясним, что понимается под «управлением» и каков «выигрыш» (показатель эффективности) W.

1. Планируется деятельность группы промышленных предприятий П1, П2, …, ПK на период Т хозяйственных лет (M -летку). В начале периода на развитие группы выделены какие-то средства М, которые должны быть как-то распределены между предприятиями. В процессе работы предприятия, вложенные в него средства частично расходуются (амортизируются), а частично сохраняются и снова могут быть перераспределены. Каждое предприятие за год приносит доход, зависящий от того, сколько средств в него вложено. В начале каждого хозяйственного года имеющиеся в наличии средства перераспределяются между предприятиями. Ставится вопрос: какое количество средств в начале каждого года нужно выделять каждому предприятию, чтобы суммарный доход за Т лет был максимальным?

Выигрыш W (суммарный доход) представляет собой сумму доходов на отдельных шагах (годах):

И, значит, обладает свойством аддитивности.

Управление X I на I -м шаге состоит в том, что в начале I -го года предприятиям выделяются какие-то средства Х I 1 , х I 2 , …, х Ik (первый индекс — номер шага, второй — номер предприятия). Таким образом, шаговое управление есть вектор с K составляющими:

Xi = (Xi 1 , Xi 2 , …, Xik ). (12.7)

Разумеется, величины Wi в формуле (12.6) зависят от количества вложенных в предприятия средств.

Управление Х всей операцией состоит из совокупности всех шаговых управлений:

X = (X 1 , X 2 , …, Xm ). (12.8)

Требуется найти такое распределение средств по предприятиям и по годам (оптимальное управление X * ), при котором величина W обращается в максимум.

В этом примере шаговые управления были векторами; в последующих примерах они будут проще и выражаться просто числами.

2. Космическая ракета состоит из Т ступеней, а процесс ее вывода на орбиту — из M этапов, в конце каждого из которых очередная ступень сбрасывается. На все ступени (без учета «полезного» веса кабины) выделен какой-то общий вес:

G = G 1 + G 2 + … + Gm ,

Где Gi вес I -й ступени.

В результате I -го этапа (сгорания и сбрасывания 1-й ступени) ракета получает приращение скорости , зависящее от веса данной ступени и суммарного веса всех оставшихся плюс вес кабины. Спрашивается, как нужно распределить вес G между ступенями, чтобы скорость ракеты V при ее выводе на орбиту была максимальна?

В данном случае показатель эффективности (выигрыш) будет

V = (12.9)

Где — выигрыш (приращение скорости) на I -м шаге. Управление Х представляет собой совокупность весов всех ступеней Gi :

Х = (Gi , Gi , …, Gm ).

Оптимальным управлением Х* будет то распределение весов по ступеням, при котором скорость V максимальна. В этом примере шаговое управление — одно число, а именно, вес данной ступени.

3. Владелец автомашины эксплуатирует ее в течение Т лет. В начале каждого года он может принять одно из трех решений:

1) продать машину и заменить ее новой;

2) ремонтировать ее и продолжать эксплуатацию;

3) продолжать эксплуатацию без ремонта.

Шаговое управление — выбор одного из этих трех решений. Непосредственно числами они не выражаются, но можно приписать первому численное значение 1, второму 2, третьему 3. Какие нужно принять решения по годам (т. е. как чередовать управления 1, 2, 3), чтобы суммарные расходы на эксплуатацию, ремонт и приобретение новых машин были минимальны?

Показатель эффективности (в данном случае это не «выигрыш», а «проигрыш», но это неважно) равен

W = (12.10)

Где Wi расходы в I -м году. Величину W требуется обратить в минимум.

X = (3, 3, 2, 2, 2, 1, 3, …),

Что означает: первые два года эксплуатировать машину без ремонта, последующие три года ее ремонтировать, в начале шестого года продать, купить новую, затем снова эксплуатировать без ремонта и т. д. Любое управление представляет собой вектор (совокупность чисел):

Х = (J 1 , J 2 , …; Jm ), (12.11)

Где каждое из чисел J 1 , J 2 , …, Jm имеет одно из трех значений: 1, 2 или 3. Нужно выбрать совокупность чисел (12.11), при которой величина (12.10) минимальна.

4. Прокладывается участок железнодорожного пути между пунктами А и В (рис. 12.1). Местность пересеченная, включает лесистые зоны, холмы, болота, реку, через которую надо строить мост. Требуется так провести дорогу из А и В, чтобы суммарные затраты на сооружение участка были минимальны.

В этой задаче, в отлично от трех предыдущих, нет естественного членения на шаги: его приходится вводить искусственно, для чего, например, можно отрезок АВ разделить на Т частей, провести через точки деления прямые, перпендикулярные АВ, и считать за «шаг» переход с одной такой прямой на другую. Если провести их достаточно близко друг от друга, то можно считать на каждом шаге участок пути прямолинейным. Шаговое управление на г-м шаге представляет собой угол , который составляет участок пути с прямой АВ. Управление всей операцией состоит из совокупности шаговых управлений:

Х = ().

Требуется выбрать такое (оптимальное) управление Х *, при котором суммарные затраты па сооружение всех участков минимальны:

W = => Min. (12.12)

Итак, мы рассмотрели несколько примеров многошаговых задач исследования операций. А теперь поговорим о том, как можно решать подобного рода задачи?

Любую многошаговую задачу можно решать по-разному: либо искать сразу все элементы решения на всех M шагах, либо же строить оптимальное управление шаг за шагом, па каждом этапе расчета оптимизируя только один шаг. Обычно второй способ оптимизации оказывается проще, чем первый, особенно при большом числе шагов.

Такая идея постепенной, пошаговой оптимизации и лежит в основе метода динамического программирования. Оптимизация одного шага, как правило, проще оптимизации всего процесса: лучше, оказывается, много раз решить сравнительно простую задачу, чем один раз — сложную.

С первого взгляда идея может показаться довольно тривиальной. В самом деле, чего казалось бы, проще:

Если трудно оптимизировать операцию в целом, разбить ее на ряд шагов. Каждый такой шаг будет отдельной, маленькой операцией, оптимизировать которую уже нетрудно. Надо выбрать на этом шаге такое управление, чтобы эффективность этого шага была максимальна. Не так ли?

Нет, вовсе не так! Принцип динамического программирования отнюдь не предполагает, что каждый шаг оптимизируется отдельно, независимо от других. Напротив, шаговое управление должно выбираться дальновидно, с учетом всех его последствий в будущем. Что толку, если мы выберем на данном шаге управление, при котором эффективность этого шага максимальна, если этот шаг лишит нас возможности хорошо выиграть на последующих шагах?

Пусть, например, планируется работа группы промышленных предприятий, из которых часть занята выпуском предметов потребления, а остальные производят для них машины. Задача операции — получить за Т лет максимальный объем выпуска предметов потребления. Допустим, планируются капиталовложения на первый год. Исходя из узких интересов этого шага (года), мы должны были бы все наличные средства вложить в производство предметов потребления. Но правильно ли будет такое решение с точки зрения эффективности операции в целом? Очевидно, нет. Это решение — расточительное, недальновидное. Имея в виду будущее, надо выделить какую-то долю средств и на производство машин. От этого объем продукции за первый год, конечно, снизится, зато будут созданы условия для его увеличения в последующие годы.

Еще пример. Допустим, что в задаче 4 (прокладка железнодорожного пути из А в В ) мы прельстимся идеей сразу же устремиться по самому легкому (дешевому) направлению. Что толку от экономии на первом шаге, если в дальнейшем он заведет нас (буквально или фигурально) в «болото»?

Значит, Планируя многошаговую операцию, надо выбирать управление на каждом шаге с учетом всех его будущих последствий на еще предстоящих шагах. Управление на I -м шаге выбирается не так, чтобы выигрыш именно на данном шаге был максимален, а так, чтобы была максимальна сумма выигрышей на всех оставшихся до конца шагах плюс данный.

Однако из этого правила есть исключение. Среди всех шагов есть один, который может планироваться попросту, без оглядки на будущее. Какой это шаг? Очевидно, последний! Этот шаг, единственный из всех, можно планировать так, чтобы он сам, как таковой, принес наибольшую выгоду.

Поэтому процесс динамического программирования обычно разворачивается от конца к началу: прежде всего, планируется последний, M -й шаг. А как его спланировать, если мы не знаем, чем кончился предпоследний? Т. е. не знаем условий, в которых мы приступаем к последнему шагу?

Вот тут-то и начинается самое главное. Планируя последний шаг, нужно сделать разные предположения о том, чем кончился предпоследний, (т — 1)-й шаг, и для каждого из этих предположений найти условное оптимальное управление на M -м шаге («условное» потому, что оно выбирается исходя из условия, что предпоследний шаг кончился так-то и так-то).

Предположим, что мы это сделали, и для каждого из возможных исходов предпоследнего шага знаем условное оптимальное управление и соответствующий ему условный оптимальный выигрыш на M -м шаге. Отлично! Теперь мы можем оптимизировать управление на предпоследнем, (т- 1)-м шаге. Снова сделаем все возможные предположения о том, чем кончился предыдущий, (M — 2)-й шаг, и для каждого из этих предположений найдем такое управление на (M 1)-м шаге, при котором выигрыш за последние два шага (из которых M -й уже оптимизирован!) максимален. Так мы найдем для каждого исхода (M — 2)- шага условное оптимальное управление на (т — 1)-м шаге и условный оптимальный выигрыш на двух последних шагах. Далее, «пятясь назад», оптимизируем управление на (M — 2)-м шаге и т. д., пока не дойдем до первого.

Предположим, что все условные оптимальные управления и условные оптимальные выигрыши за весь «хвост» процесса (на всех шагах, начиная от данного и до конца) нам известны. Это значит: мы знаем, что надо делать, как управлять на данном шаге и что мы за это получим на «хвосте», в каком бы состоянии ни был процесс к началу шага. Теперь мы можем построить уже не условно оптимальное, а просто оптимальное управление Х* и найти не условно оптимальный, а просто оптимальный выигрыш W *.

В самом деле, пусть мы знаем, в каком состоянии S 0 была управляемая система (объект управления S ) в начале первого шага. Тогда мы можем выбрать оптимальное управление на первом шаге. Применив его, мы изменим, состояние системы на некоторое новое ; в этом состоянии мы подошли ко второму шагу. Тогда нам тоже известно условное оптимальное управление , которое к концу второго шага переводит систему в состояние , и т. д. Что касается оптимального выигрыша W* за всю операцию, то он нам уже известен: ведь именно на основе его максимальности мы выбирали управленце на первом шаге.

Таким образом, в процессе оптимизации управления методом динамического программирования многошаговый процесс «проходится» дважды: первый раз — от конца к началу, в результате чего находятся условные оптимальные управления и условные оптимальные выигрыши за оставшийся «хвост» процесса; второй раз — от начала к концу, когда нам остается только «прочитать» уже готовые рекомендации и найти безусловное оптимальное управление Х*, состоящее из оптимальных шаговых управлений

Первый этап — условной оптимизации — несравненно сложнее и длительнее второго. Второй этап почти не требует дополнительных вычислений.

Автор не льстит себя надеждой, что из такого описания метода динамического программирования читатель, не встречавшийся с ним до сих пор, поймет по-настоящему его идею. Истинное понимание возникает при рассмотрении конкретных примеров, к которым мы и перейдем.

Достаточно общая теория управления СССР Внутренний Предиктор

14. Метод динамического программирования как алгоритмическое выражение достаточно общей теории управления

В изложении существа метода динамического программирования мы опираемся на книгу “Курс теории автоматического управления” (автор Палю де Ла Барьер: французское издание 1966 г., русское издание — “Машиностроение”, 1973 г.), хотя и не повторяем его изложения. Отдельные положения взяты из курса “Исследование операций” Ю.П.Зайченко (Киев, “Вища школа”, 1979 г.).

Метод динамического программирования работоспособен, если формальная интерпретация реальной задачи позволяет выполнить следующие условия:

1. Рассматриваемая задача может быть представлена как N -шаговый процесс, описываемый соотношением:

X = f(X U , n) , где n — номер одного из множества возможных состояний системы, в которое она переходит по завершении n -ного шага; X — вектор состояния системы, принадлежащий упомянутому n -ному множеству; U — управление, выработанное на шаге n (шаговое управление), переводящее систему из возможного её состояния в n -ном множестве в одно из состояний (n + 1 )-го множества. Чтобы это представить наглядно, следует обратиться к рис. 4, о котором речь пойдет далее.

2. Структура задачи не должна изменяться при изменении расчетного количества шагов N.

3. Размерность пространства параметров, которыми описывается состояние системы, не должна изменяться в зависимости от количества шагов N.

4. Выбор управления на любом из шагов не должен отрицать выбора управления на предыдущих шагах. Иными словами, оптимальный выбор управления в любом из возможных состояний должен определяться параметрами рассматриваемого состояния, а не параметрами процесса, в ходе которого система пришла в рассматриваемое состояние.

Чисто формально, если одному состоянию соответствуют разные предыстории его возникновения, влияющие на последующий выбор оптимального управления, то метод позволяет включить описания предысторий в вектор состояния, что ведёт к увеличению размерности вектора состояния системы. После этой операции то, что до неё описывалось как одно состояние, становится множеством состояний, отличающихся одно от других компонентами вектора состояния, описывающими предысторию процесса.

5. Критерий оптимального выбора последовательности шаговых управлений U и соответствующей траектории в пространстве формальных параметров имеет вид:

V = V (X , U) + V (X , U) + + V (X , U) + V (X).

Критерий V принято называть полным выигрышем, а входящие в него слагаемые — шаговыми выигрышами . В задаче требуется найти последовательность шаговых управлений U и траекторию, которым соответствует максимальный из возможных полных выигрышей . По своему существу полный “выигрыш” V — мера качества управления процессом в целом . Шаговые выигрыши, хотя и входят в меру качества управления процессом в целом, но в общем случае не являются мерами качества управления на соответствующих им шагах, поскольку метод предназначен для оптимизации управления процессом в целом, а эффектные шаговые управления с большим шаговым выигрышем, но лежащие вне оптимальной траектории, интереса не представляют. Структура метода не запрещает при необходимости на каждом шаге употреблять критерий определения шагового выигрыша V , отличный от критериев, принятых на других шагах.

С индексом n — указателем-определителем множеств возможных векторов состояния — в реальных задачах может быть связан некий изменяющийся параметр, например: время, пройденный путь, уровень мощности, мера расходования некоего ресурса и т.п. То есть метод применим не только для оптимизации управления процессами, длящимися во времени, но и к задачам оптимизации многовариантного одномоментного или нечувствительного ко времени решения, если такого рода “безвременные”, “непроцессные” задачи допускают их многошаговую интерпретацию.

Теперь обратимся к рис. 4 — рис. 6, повторяющим взаимно связанные рис. 40, 41, 42 из курса теории автоматического управления П. де Ла Барьера.

Рис. 4. К существу метода динамического программирования. Матрица возможностей.

На рис. 4 показаны начальное состояние системы — «0» и множества её возможных последующих состояний — «1», «2», «3», а также возможные переходы из каждого возможного состояния в другие возможные состояния. Всё это вместе похоже на карту настольной детской игры, по которой перемещаются фишки: каждому переходу-шагу соответствует свой шаговый выигрыш, а в завершающем процесс третьем множестве — каждому из состояний системы придана его оценка, помещенная в прямоугольнике. Принципиальное отличие от игры в том, что гадание о выборе пути, употребляемое в детской игре, на основе бросания костей или вращения волчка и т.п., в реальном управлении недопустимо, поскольку это — передача целесообразного управления тем силам, которые способны управлять выпадением костей, вращением волчка и т. п., т.е. тем, для кого избранный в игре «генератор случайностей» — достаточно (по отношению к их целям) управляемое устройство.

Если выбирать оптимальное управление на первом шаге, то необходимо предвидеть все его последствия на последующих шагах. Поэтому описание алгоритма метода динамического программирования часто начинают с описания выбора управления на последнем шаге, ведущем в одно из завершающих процесс состояний. При этом ссылаются на «педагогическую практику», которая свидетельствует, что аргументация при описании алгоритма от завершающего состояния к начальному состоянию легче воспринимается, поскольку опирается на как бы уже сложившиеся к началу рассматриваемого шага условия, в то время как возможные завершения процесса также определены.

Рис. 5. К существу метода динамического программирования. Анализ переходов.

В соответствии с этим на рис. 5 анализируются возможные переходы в завершающее множество состояний «3» из каждого возможного состояния в ему предшествующем множестве состояний «2», будто бы весь предшествующий путь уже пройден и осталось последним выбором оптимального шагового управления завершить весь процесс. При этом для каждого из состояний во множестве «2» определяются все полные выигрыши как сумма = «оценка перехода» + «оценка завершающего состояния». Во множестве «2» из полученных для каждого из состояний, в нём возможных полных выигрышей, определяется и запоминается максимальный полный выигрыш и соответствующий ему переход (фрагмент траектории). Максимальный полный выигрыш для каждого из состояний во множестве «2» взят в прямоугольную рамку, а соответствующий ему переход отмечен стрелкой. Таких оптимальных переходов из одного состояния в другие, которым соответствует одно и то же значение полного выигрыша, в принципе может оказаться и несколько. В этом случае все они в методе неразличимы и эквивалентны один другому в смысле построенного критерия оптимальности выбора траектории в пространстве параметров, которыми описывается система.

После этого множество «2», предшествовавшее завершающему процесс множеству «3», можно рассматривать в качестве завершающего, поскольку известны оценки каждого из его возможных состояний (максимальные полные выигрыши) и дальнейшая оптимизация последовательности шаговых управлений и выбор оптимальной траектории могут быть проведены только на ещё не рассмотренных множествах, предшествующих множеству «2» в оптимизируемом процессе (т. е. на множествах «0» и «1»).

Таким образом, процедура, иллюстрируемая рис. 5, работоспособна на каждом алгоритмическом шаге метода при переходах из n -го в (n — 1) -е множество, начиная с завершающего N -ного множества до начального состояния системы.

В результате последовательного попарного перебора множеств, при прохождении всего их набора, определяется оптимальная последовательность преемственных шаговых управлений, максимально возможный полный выигрыш и соответствующая им траектория. На рис. 6 утолщённой линией показана оптимальная траектория для рассматривавшегося примера.

Рис. 6. К существу метода динамического программирования. Оптимальная траектория.

В рассмотренном примере критерий оптимальности — сумма шаговых выигрышей. Но критерий оптимальности может быть построен и как произведение обязательно неотрицательных сомножителей.

Поскольку результат (сумма или произведение) не изменяется при изменении порядка операций со слагаемыми или сомножителями, то алгоритм работоспособен и при переборе множеств возможных состояний в порядке, обратном рассмотренному: т. е. от исходного к завершающему множеству возможных состояний.

Если множества возможных состояний упорядочены в хронологической последовательности, то это означает, что расчетная схема может быть построена как из реального настоящего в прогнозируемое определённое будущее, так и из прогнозируемого определённого будущего в реальное настоящее. Это обстоятельство говорит о двух неформальных соотношениях реальной жизни, лежащих вне алгоритма:

1. Метод динамического программирования формально алгоритмически нечувствителен к характеру причинно-следственных обусловленностей (в частности, он не различает причин и следствий). По этой причине каждая конкретная интерпретация метода в прикладных задачах должна строиться с неформальным учетом реальных обусловленностей следствий причинами.

2. Если прогностика в согласии с иерархически высшим объемлющим управлением, а частное вложенное в объемлющее управление осуществляется квалифицировано, в силу чего процесс частного управления протекает в ладу с иерархически высшим объемлющим управлением, то НЕ СУЩЕСТВУЕТ УПРАВЛЕНЧЕСКИ ЗНАЧИМОЙ РАЗНИЦЫ МЕЖДУ .

Процесс целостен, по какой причине ещё не свершившееся, но уже нравственно избранное и объективно не запрещённое Свыше будущее, в свершившемся настоящем защищает тех, кто его творит на всех уровнях: начиная от защиты психики от наваждений до защиты от целенаправленной “физической” агрессии. То есть, если матрица возможных состояний (она же матрица возможных переходов) избрана в ладу с иерархически высшим объемлющим управлением, то она сама — защита и оружие, средство управления, на которое замкнуты все шесть приоритетов средств обобщённого оружия и управления.

Объективное существование матриц возможных состояний и переходов проявляется в том, что в слепоте можно “забрести” в некие матрицы перехода и прочувствовать на себе их объективные свойства. Последнее оценивается субъективно, в зависимости от отношения к этим свойствам, как полоса редкостного везения либо как нудное “возвращение на круги своя” или полоса жестокого невезения.

Но для пользования методом динамического программирования и сопутствующими его освоению неформализованными в алгоритме жизненными проявлениями матриц перехода , необходимо СОБЛЮДЕНИЕ ГЛАВНОГО из условий:

В задачах оптимизации процессов управления метод динамического программирования «реального будущего: — по умолчанию» работоспособен только, если определён вектор целей управления, т. е. должно быть избрано завершающее процесс .

В реальности это завершающее определённое состояние должно быть заведомо устойчивым и приемлемым процессом, объемлющим и несущим оптимизируемый методом частный процесс. Но выбор и определение определённых характеристик процесса, в который должна войти управляемая система по завершении алгоритма метода лежит вне этого метода — в области “мистики” или в области методов, развитых в нематематических по своему существу науках и ремёслах.

«Каково бы ни было состояние системы перед очередным шагом, надо выбирать управление на этом шаге так, чтобы выигрыш на данном шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был максимальным», — Е.С.Вентцель, “Исследование операций. Задачи, принципы, методология.” (М., “Наука”, 1988 г., стр. 109).

Неспособность определить вектор целей управления (достижением которого должен завершиться оптимизируемый в методе процесс) и (или) неспособность выявить исходное состояние объекта управления не позволяет последовать этой рекомендации, что объективно закрывает возможности к использованию метода динамического программирования, поскольку начало и конец процесса должны быть определены в пространстве параметров, на которых построена математическая (или иная) модель метода, которая должна быть метрологически состоятельной, что является основой её соотнесения с реальностью. Причём определённость завершения оптимизируемого процесса имеет управленчески большее значение, чем ошибки и некоторые неопределённости в идентификации (выявлении) начального состояния объекта управления.

Это тем более справедливо для последовательных многовариантных шаговых переходов, если матрица возможных состояний вписывается в пословицу «Все дороги ведут в “Рим”», . Для такого рода процессов, если избрана устойчивая во времени цель и к ней ведут множество траекторий, то при устойчивом пошаговом управлении “расстояние” между оптимальными траекториями, идущими к одной и той же цели из различных исходных состояний, от шага к шагу сокращается, вплоть до полного совпадения оптимальных траекторий, начиная с некоторого шага. Это утверждение тем более справедливо, чем более определённо положение завершающего процесс вектора целей в пространстве параметров. По аналогии с математикой это можно назвать : асимптотичность множества траекторий выражается в том, что «все дороги ведут в “Рим”…»

И в более общем случае, рекомендации Нового Завета и Корана утверждают возможность обретения благодати, милости Вседержителя вне зависимости от начального состояния (греховности человека) в тот момент, когда он очнулся и увидел свои дела такими, каковы они есть.

Другое замечание относится уже к практике — к вхождению в матрицу перехода. Если начальное состояние системы определено с погрешностью, большей чем допустимая для вхождения в матрицу перехода из реального начального состояния в избранное конечное, то управление на основе самого по себе безошибочного алгоритма метода динамического программирования приведет к совсем иным результатам, а не расчетному оптимальному состоянию системы. Грубо говоря, не следует принимать за выход из помещения на высоком этаже открытое в нём окно.

То есть метод динамического программирования, необходимостью как определённости в выборе конечного состояния-процесса, так и выявления истинного начального состояния, сам собой защищён от применения его для наукообразной имитации оптимизации управления при отсутствии такового. Это отличает метод динамического программирования, в частности от аппарата линейного программирования , в который можно сгрузить экспромтные оценки “экспертами” весовых коэффициентов в критериях оптимизации Min (Z) либо Max (Z) .

Эта сама собой защищённость от недобросовестного использования косвенно отражена и в литературе современной экономической науки: поскольку она не определилась с тем, что является вектором целей управления по отношению к экономике государства, то не встречаются и публикации об использовании аппарата динамического программирования для оптимизации управления макроэкономическими системами регионов и государств в целом на исторически длительных интервалах времени.

Примерами тому “Математическая экономика на персональном компьютере” под ред. М.Кубонива , в которой глава об управлении в экономике содержит исключительно макроэкономические интерпретации аппарата линейного программирования (прямо так и названа “Управление в экономике. Линейное программирование и его применение”), но ничего не говорит о векторе целей управления и средствах управления; в ранее цитированном учебнике Ю.П.Зайченко описание метода динамического программирования также построено на задачах иного характера.

Однако при мотивации отказа от макроэкономических интерпретаций метода динамического программирования авторы обычно ссылаются на так называемое в вычислительной математике «проклятие размерности», которое выражается в том, что рост размерности пространства параметров задачи N вызывает рост объема вычислений, пропорциональный N , где показатель степени k» 1. Такой нелинейный сверхпропорциональный рост объема вычислений действительно делает многие вычислительные работоспособные процедуры никчемными в решении практических задач как из-за больших затрат машинного времени компьютеров, так и из-за накопления ошибок в приближённых вычислениях. Но это «проклятие размерности» относится не только к методу динамического программирования, но и к другим методам, которые, однако, встречаются и в их макроэкономических интерпретациях.

Из книги Прозрение автора Ефимов Виктор Алексеевич

4. Достаточно общая теория управления (ДОТУ). Реальное управление страной возможно только по полной функции. Применяемые в стране принципы управления (хотели как лучше, а получилось как всегда) свидетельствуют об отсутствии элементарных представлений о схемах

Из книги Об искоренении глобальной угрозы «международного терроризма» автора СССР Внутренний Предиктор

Отступление от темы 5: Кибернетика и история теории управления На протяжении всей второй половины ХХ века кибернетику представляют обществу в качестве науки об управлении вообще, хотя она — в том виде, в котором её представил публике Н.Винер, — в действительности не

автора СССР Внутренний Предиктор

1. Достаточно общая теория управления: зачем это надо? Всякий разум — индивидуальный или соборный — в иерархии взаимной вложенности структур Мироздания решает прежде всего задачи управления по отношению к иерархически низшим системам и задачи самоуправления в

Из книги 12 тем. Маркетинг 21 века автора Грант Дж

2. Категории достаточно общей теории управления В теории управления возможна постановка всего двух задач. · Первая задача: мы хотим управлять объектом в процессе его функционирования сами непосредственно. Это.· Вторая задача: мы не хотим управлять объектом в процессе

Из книги «О текущем моменте» № 7(79), 2008 г. автора СССР Внутренний Предиктор

Из книги Геннадий Шичко и его метод автора Дроздов Иван

Часть 1. Полная функция управления в толпо-“элитаризме” и в реальном народовластии 1.1. Полная функция управления и первобытная практика её реализации в жизни общества В достаточно общей теории управления (ДОТУ) есть понятие «полная функция управления». Полная функция

Из книги Что нас ждет, когда закончится нефть, изменится климат, и разразятся другие катастрофы автора Кунстлер Джеймс Говард

Из книги Новая опричнина, или Модернизация по-русски автора Калашников Максим

Из книги Что нас ждет, когда закончится нефть, изменится климат и разразятся другие катастрофы XXI века автора Кунстлер Джеймс Говард

Сжатие инновационных циклов – вопрос национального выживания: меморандум Института динамического консерватизма 10 июня 2009 года в Институте динамического консерватизма состоялась экспертная встреча практиков-инноваторов и ученых на тему: «Реальные инновации и их

Из книги Антисемитизм: концептуальная ненависть автора Альтман Илья

Из книги Достаточно общая теория управления автора СССР Внутренний Предиктор

Выражение признательности МАРК ВЕЙЦМАНЭта книга готовилась в честь Симона Визенталя. Поскольку обычно такого рода сборники издаются в честь выдающихся ученых, идея посвятить книгу Симону была чрезвычайно уместна. Не занимая должности научного сотрудника или

Из книги Неужели я гений? автора Венгар Вин

1. Достаточно общая теория управления: зачем это надо? Всякий разум – индивидуальный или соборный – в иерархии взаимной вложенности структур Мироздания решает прежде всего задачи управления по отношению к иерархически низшим системам и задачи самоуправления в

Из книги Куда Кейнс зовет Россию? автора Дзарасов Солтан

2. Категории достаточно общей теории управления В теории управления возможна постановка всего двух задач.· Первая задача: мы хотим управлять объектом в процессе его функционирования сами непосредственно. Это.· Вторая задача: мы не хотим управлять объектом в процессе его

Из книги автора

14. Метод динамического программирования как алгоритмическое выражение достаточно общей теории управления В изложении существа метода динамического программирования мы опираемся на книгу “Курс теории автоматического управления” (автор Палю де Ла Барьер: французское

Из книги автора

Выражение признательности Программа ускоренного обучения «Проект возрождения» главная тема этой книги — начала реализовываться 25 лет назад благодаря усилиям огромного количества людей, пионеров в области изучения человеческого сознания, тех, кто принимал участие в

Из книги автора

3. На пути к Общей теории В то же время русская революция была воспринята им как серьезное предупреждение. При всем своем негативном отношении к ней Кейнс с повышенным интересом отнесся к выдвинутым ею проблемам, и это не могло не обострить его внимание к более широкому

Динамическое программирование — Студопедия

Курсовая работа

по дисциплине «Введение в исследование операций»

на тему: «Динамическое программирование»

Вариант 2821

 

Выполнила: Федорова А.А.

Гр. 1О-307Б

Проверил: Горлов В.М.

 

Москва

Содержание.

1. Постановка задачи…………………………………………….……………3

2. Динамическое программирование……………………………….………..4

3. Принцип оптимальности Беллмана………………………..………………7

4. Решение многошаговых задач оптимизации методом динамического программирования…………………………………………………………12

5. Пример решения задачи оптимизации методом динамического программирования………………………………………………………. ..16

6. Задача распределения ресурсов…….……………………………………..18

7. Алгоритм……………………………………………………………………19

8. Текст программы……….………………………………………………….21

9. Контрольный расчет……………………………………………………….24

10. Применение программы для исходной задачи .…………………………25

 

Постановка задачи

Составить оптимальный план использовании однотипных поисковых средств, если задана вероятность обнаружения объекта в – ом районе одним поисковым средством. Известно, что объект может находиться в одном из районов поиска с вероятностью .


Пусть – количество средств, назначаемых в –й район поиска.

В этом случае вероятность обнаружения объекта — ом районе

, а математическое ожидание обнаружения объекта определяется

Необходимо максимизировать при ограничениях:

Исходные данные:

 

Для проверки сделать контрольный расчет для варианта(из лекций).

Сделать расчеты для заданного , для и .

Результаты свести в таблицу.

Динамическое программирование

Сущность динамического программирования:

В 50-х годах прошлого века был развит новый общий метод решения оптимизационных задач, названный динамическим программированием (ДП).

Динамическое программирование представляет собой математический метод оптимизации решений для исследования многошаговых (многоэтапных) операций.

Рассмотрим некоторую физическую систему, которая с течением времени может менять свое состояние. Пусть в любой момент времени ей соответствует вектор состояния . Обычно является многомерным вектором, состоящим из конечного набора величин , называемых переменными состояния. В качестве переменных могут быть точки в фазовом пространстве (координаты скорости). При изучении электромагнитных цепей компоненты вектора могут представлять собой токи и напряжения, в экономике – мощности и ресурсы, необходимые для работы отраслей промышленности.

Будем считать, что система из одного состояния в другое переходит под воздействием некоторого управления. Обозначим управление (всю систему мероприятий, с помощью которой система меняет свое состояние во времени), вектором .


Вектор управления следует выбрать так, чтобы система изменяла свое состояние некоторым заранее выбранным способом. С процессом изменения состояния системы обычно связана некоторая оценка, выраженная численно с помощью критерия , который зависит от состояния системы и управления . Запишем эту зависимость:

.

Для постановки задачи оптимизации необходимо учесть условия, накладываемые на начальное состояние и конечное состояние . В простейшем состоянии оба эти состояния заданы. В других задачах эти состояния могут ограничены только заданием области начального состояния и конечного .

В общем виде задача оптимального управления формулируется следующим образом:

Из множества возможных управлений найти такое управление , которое переводит систему из начального состояния в конечное состояние так, чтобы критерий принимал максимальное или минимальное значение.

Специфика метода динамического программирования заключается в том, что для отыскания оптимального управления , управляемый процесс разделяется на ряд последовательных этапов (шагов). Некоторые процессы разлагаются на этапы естественным опытом. В других это разделение приходиться вводить искусственно. Решение многих задач существенно упрощается, если развернуть процесс поэтапно, т.е. методом динамического программирования.

Таким образом, идея метода, его сущность заключается в том, чтобы отыскание максимума сложной функции многих переменных свести к отысканию последовательности максимизации функции одной переменной. Т.е. вместо того, чтобы один раз решать сложную задачу, мы решаем много раз относительно более простые. В случае метода динамического программирования, в его основе лежит принцип оптимальности.

В основе метода динамического программирования лежит принцип оптимальности Беллмана для широкого круга задач или процессов. Оптимальная стратегия обладает таким свойством, что каковы бы не были начальные состояния и начальное решение (уравнение), последующие решения должны составлять оптимальную стратегию лишь относительно состояния, рассматриваемого в данный момент времени зависит от «предыстории» системы и определяется ее состоянием в данный момент времени. Другими словами оптимальная стратегия не зависит от «предыстории» системы и определяется ее состоянием в данный момент времени. Принцип оптимальности Белмана не предполагает, что выбирая уравнения на данном шаге можно забыть о всех остальных, т.е. управление на каждом шаге выбирается с учетом его последствий в будующем. ДП – не близорукое планирование «вслепую» на один шаг, а планирование «дальновидное» с учетом перспектив.

Выбор управления на каждом шаге производится в интересах процесса в целом. Общее правило формирования управления в процессах многошагового планирования управления на каждом шаге должно приниматься с учетом будущего управления. Однако среди всех шагов существует такой, на который это правило не распространяется (последний). Последний шаг, единственный из всех можно планировать так, чтобы он принимал наибольшее приращение . Из того, что выбрано управление на последнем шаге, т.е. последний шаг спланирован и к нему можно «пристроить» предпоследний шаг, в свою очередь к нему опять пристраиваем предпоследний. Поэтому процесс динамического программирования удобно разворачивать в возвратном времени т.е. от конца к началу.

Оптимальное управление на последнем шаге заключается в том, что для любого из возможных состояний на предпоследнем шаге выбрать такое управление, которое переводило бы систему в конечное состояние S(N) и при этом позволяло бы получить максимальное приращение функции . На последнем N-ом шаге необходимо сделать всевозможные предположения о том, чем закончится N-1 шаг. Идея каждого из этих состояний выбрать управление на последнем шаге. Пусть планируется N шаговая операция и неизвестно чем закончится N-1 шаг, то мы делаем предложение о возможных состояниях системы в конце N-1 шага. Под буквой S упоминается не обязательно одно число, это может быть целая группа характеристики системы. Это значит, что последний шаг спланирован для любого исхода предпоследнего шага. Далее к предпоследнему пристыковывается еще к более предпоследний и процесс повторяется.

Таким образом, сущность подхода динамического программирования состоит в следующем: данная конкретная задача управления «погружается» в более широкий класс задач, которые характеризуются рядом параметров; затем с помощь принципа оптимальности Беллмана составляется основное рекуррентное соотношение, связывающее задачи из этого класса. Если выполнены некоторые дополнительные предположения, относительно гладкости участвующих в рассмотрении функций, то из главного рекуррентного соотношения вытекает основное дифференциальное уравнение в частных производных — уравнение Беллмана, решая которое, можно найти решение широкого класса задач.


Динамическое программирование — это… Что такое Динамическое программирование?

Динамическое программирование [dynamic program­ming] — раздел математического программирования, совокупность приемов, позволяющих находить оптимальные решения, основанные на вычислении последствий каждого решения и выработке оптимальной стратегии для последующих решений.

Процессы принятия решений, которые строятся по такому принципу, называются многошаговыми процессами. Математически оптимизационная задача строится в Д. п. с помощью таких соотношений, которые последовательно связаны между собой: например, полученный результат для одного года вводится в уравнение для следующего (или, наоборот, для предыдущего), и т. д. Таким образом, можно получить на вычислительной машине результаты решения задачи для любого избранного момента времени и «следовать» дальше. Д.п. применяется не обязательно для задач, связанных с течением времени. Многошаговым может быть и процесс решения вполне «статической» задачи. Таковы, например, некоторые задачи распределения ресурсов.

Общим для задач Д.п. является то, что переменные в модели рассматриваются не вместе, а последовательно, одна за другой. Иными словами, строится такая вычислительная схема, когда вместо одной задачи со многими переменными строится много задач с малым числом (обычно даже одной) переменных в каждой. Это значительно сокращает объем вычислений. Однако такое преимущество достигается лишь при двух условиях: когда критерий оптимальности аддитивен, т.е. общее оптимальное решение является суммой оптимальных решений каждого шага, и когда будущие результаты не зависят от предыстории того состояния системы, при котором принимается решение. Все это вытекает из принципа оптимальности Беллмана (см. Беллмана принцип оптимальности), лежащего в основе теории Д.п. Из него же вытекает основной прием — нахождение правил доминирования, на  основе которых на каждом шаге производится сравнение вариантов будущего развития и заблаговременное отсеивание заведомо бесперспективных вариантов. Когда эти правила обращаются в формулы, однозначно определяющие элементы последовательности один за другим, их называют разрешающими правилами.

Процесс решения при этом складывается из двух этапов. На первом он ведется «с конца»: для каждого из различных предположений о том, чем кончился предпоследний шаг, находится условное оптимальное управление на последнем шаге, т.е. управление, которое надо применить, если предпоследний шаг закончился определенным образом.

Такая процедура проводится до самого начала, а затем — второй раз — выполняется от начала к концу, в результате чего находятся уже не условные, а действительно оптимальные шаговые управления на всех шагах операции (см. пример в статье Дерево решений).

Несмотря на выигрыш в сокращении вычислений при использовании подобных методов по сравнению с простым перебором возможных вариантов, их объем остается очень большим. Поэтому размерность практических задач Д.п. всегда незначительна, что ограничивает его применение.

Можно выделить два наиболее общих класса задач, к которым в принципе мог бы быть применим этот метод, если бы не «проклятие размерности». (На самом деле на таких задачах, взятых в крайне упрощенном виде, пока удается лишь демонстрировать общие основы метода и анализировать экономико-математические модели). Первый — задачи планирования деятельности экономического объекта (предприятия, отрасли и т.п.) с учетом изменения потребности в производимой продукции во времени. Второй класс задач — оптимальное распределение ресурсов между различными направлениями во времени. Сюда можно отнести, в частности, такую интересную задачу: как распределить урожай зерна каждого года на питание и на семена, чтобы в сумме за ряд лет получить наибольшее количество хлеба?

Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. — М.: Дело. Л. И. Лопатников. 2003.

Примеры задач динамического программирования — Справочник химика 21

    В качестве примера применения динамического программирования рассмотрим задачу из области техники расчета и проектирования реакторов. На рис. 15-22, а изображена схема ряда последовательно включенных реакторов полного смешения, причем в соответствии [c.347]

    По ходу динамического программирования ключевое значение получает состояние 5 главного потока, входящего в отдельный элемент процесса, так как оно определяет оптимальное значение технологической переменной базовой системы ступени и состояние главного потока на выходе. Таким образом, при динамическом программировании в базовую систему элемента процесса не будут входить переменные целевой функции (в примере программирования работы компрессора — значения и и ), а будут приняты те переменные, которые характеризуют состояние главного потока (в примере с компрессором — значения давленип Р2 и Рз). Это изменение создает большие преимущества для расчета. Представленная на рис. 15-19 первоначальная задача состоит в том, чтобы одновременно оптимизировать единую целевую функцию с Р переменными  [c.346]


    Единый подход к решению широкого класса задач па разыскание экстремума функции большого конечного числа переменных дает теория динамического программирования Веллмана [7]. Сущность этой теории покажем на примере типичной задачи оптимизации, возникающей в химической технологии. Требуется найти оптимальный режим для последовательности N реакторов (или Л -стадийного аппарата), причем на каждой стадии варьируется М независимых переменных. Пронумеруем реакторы в обратном порядке, так что первый номер присваивается последнему, а N-й — первому по ходу потока реактору. Состояние потока на выходе п-го реактора обозначим индексом 71 в соответствии с этим исходное состояние потока обозначается индексом -/V 1 (рис. 1Х. З). Состояние реагирующего потока в общем случае описывается некоторым вектором X. Вектор X часто совпадает с вектором состава С в более сложных случаях, однако, компонентами вектора X могут быть, помимо концентраций ключевых веществ, также и температура потока, давление и пр. [c.381]

    В приведенных ниже примерах 1-3 и 1-4 иллюстрируется применение метода динамического программирования. Они относятся к простым задачам, которые могут быть решены и более элементарными методами. [c.220]

    Общая процедура решения задачи методом динамического программирования. Проиллюстрируем процедуру решения задачи оптимизации многостадийного процесса на примере процесса,. в котором размерность векторов состояния № и управления) uW на каждой стадии равна единице. Это позволяет повысить [c.268]

    Выше уже отмечалось, что метод динамического программирования находит весьма широкое применение при решении задач оптимизации процессов химической технологии. Значительное число примеров соответствующих оптимальных задач, сформулированных в терминах указанного метода, можно найти в литературе [2, 3]. В подавляющем большинстве практических задач конечное решение получают только в численной форме. Однако в очень простых случаях оно может быть найдено в аналитическом виде, что видно из приведенных ниже примеров, которые наглядно позволяют проследить основные моменты использования метода динамического программирования при решении задач оптимизации. [c.287]


    Задача нахождения оптимального температурного профиля в реакторе идеального вытеснения для обратимых реакций рассматривалась выше (см. пример III-8). Однако в данном случае представляет интерес получить ее решение методом динамического программирования, чтобы подробнее проанализировать [c.303]

    Рассмотренные в настоящей главе примеры использования метода динамического программирования для решения оптимальных задач затрагивают лишь относительно небольшую область возможного применения этого метода. Более полные сведения об его использовании для решения задач оптимизации могут быть найдены в достаточно подробном изложении в литературе [2, 3, 5, 6]. [c.308]

    К многомерной схеме динамического программирования приводится не только задача выбора диспетчерских правил управления водохранилищами, но и ряд других из области водного хозяйства и мелиорации. Приведем два примера. [c.201]

    Хорошим примером метода, использующим специфические свойства ступенчатых систем, является динамическое программирование. Поэтому мы и начнем с него как с пути, ведущего к непрерывной задаче и вариационному исчислению. [c.297]

    Когда динамическое программирование может быть применено, размерность задачи можно оценить следующим образом. Предположим для примера, что в уравнении (4) ш = 5 для интегрирования от = 0 до / = 7 необходимо рассмотреть 100 временных интервалов. Тогда можно предложить путь выбора и путем оценки всех возможных результатов. Например, если положить, что и может иметь 20 различных значений, то количество различных значений Р, из которых следует сделать выбор, будет равно [c.304]

    В работе приводится пример графического решения задачи распределения для кусочно-линейных характеристик, основанный на методе динамического программирования. [c.57]

    В качестве примера задачи с четырьмя переменными рассмотрим оптимизацию степени превращения сернистого ангидрида путем подбора температур на входе в каждый из четырех слоев реактора SO2. Предполагается, что эти температуры можно свободно изменять. Хотя действующие в сернокислотном производстве теплообменники и ограничивают свободу выбора входных температур слоев, найденное оптимальное их распределение все же полезно сравнить с фактическим распределением. Это позволит определить, насколько производственный температурный режим далек от оптимального. Блок-схема процесса показана на фиг. 12.3а. Далее в этой же главе данная задача будет решена также методом динамического программирования.[c.285]

    У-10. к примеру 1У-5. Решение задачи методом динамического программирования. [c.235]

    В данной главе, на которой базируется все последующее изложение материала, отмечаются характерные особенности подхода к решению задач с помощью динамического программирования, а также преимущества и недостатки этого метода. Большинству инженеров-технологов описываемая методика решения задач с помощью динамического программирования покажется новой. Поэтому мы попытаемся в первой главе помочь читателю понять сущность этой новой методики. Более подробные объяснения и примеры будут приведены в соответствующих местах книги. [c.13]

    При приложении динамического программирования к решению конкретных задач мы часто встречаемся с одними и теми же словесными выражениями и соображениями. Эти общие положения излагаются здесь в качестве отправных моментов. Лучшему пониманию существа предмета будет способствовать рассмотрение конкретных примеров, проводимое в последующих главах.[c.15]

    В качестве иллюстрации рассмотрим числовой пример, полагая й = 3, = 10. Обычный комбинаторный подход требует в этом случае анализа 3 л 5,9-10 комбинаций. В противоположность этому метод поэтапного расчета, применяемый в динамическом программировании, требует анализа только 30 комбинаций. Если теперь рассмотреть процесс, где й = 3 и = 100, то окажется, что обычный комбинаторный подход потребует анализа 3 я 5,15-10 возможностей, тогда как, пользуясь методом динамического программирования, достаточно проанализировать лишь 300 комбинаций. Перечисление и классификация возможностей в рассматриваемом случае комбинаторным методом является очень сложной задачей. Так, если допустить, что на оценку каждой имеющейся возможности затрачивается 10 сек, то для полного анализа потребуется около 10 час. Такое большое ожидание ответа, конечно, немыслимо. [c.23]

    В этой главе читатель в первый, но не в последний раз столкнется с вычислительной стороной метода динамического программирования. Крайне желательно при этом тщательно рассмотреть числовые примеры, что позволит уяснить смысл функциональных уравнений. В этой связи от читателя требуется хорошее понимание поэтапного характера решений методом динамического программирования, а также того, каким образом этот метод позволяет решать задачи, перед которыми пасуют обычные методы прямого расчета и вариационного исчисления. [c.26]

    В гл. 5 сделана попытка изложить общую точку зрения на вычислительные аспекты динамического программирования. Предложен стандартный метод решения задач, а также рассмотрены ситуации, при которых обычный подход неприменим. Последнее в основном относится к многомерным задачам методы их решения обсуждаются в ряде разделов. Во многих случаях подробно рассматриваются числовые примеры. Так как эти примеры настолько просты, что их можно решить без вычислительных машин, читателю будет полезно получить результаты самостоятельно. [c.176]

    Опишем кратко содержание главы. В разд. 2 обсуждается необходимость применения численных методов при использовании динамического программирования. В разд. 3 объясняется разница между комбинаторным методом и динамическим программированием и дается простой числовой пример, который решается обоими методами. В разд. 4—9 описана техника вычислений для дискретных задач. Рассмотрено также решение многомерных задач. В разд. 10 сравниваются методы решения задач распределения с помощью динамического программирования и дифференциального исчисления. Следующие несколько разделов посвящены вопросам, связанным с последовательными приближениями, аппроксимациями в пространстве функций и аппроксимациями в пространстве стратегий. Простейшая задача распределения решается несколькими [c.176]

    Размерность задачи, определяемая числом управляющих переменных и фазовых координат, часто требует рассмотрения сеток большой размерности. Это существенный недостаток метода. Как при увеличении размерности сетки, так и при уменьшении шага сетки быстродействие и объем памяти машины становятся недостаточными. Задачам большой размерности уделялось много внимания, и было потрачено много усилий для их решения. Если бы нам в настоящее время нужно было указать пример принципиального ограничения применимости динамического программирования, мы, без сомнения, назвали бы задачи большой размерности. В этой главе будут рассмотрены некоторые приемы и способы сокращения размерности. [c.179]

    Из этого примера видно, что с помощью дифференциальных уравнений и множителей Лагранжа действительно можно решать такие задачи. Вопросы, связанные с возможными трудностями при решении уравнений для различных комбинаций т] и должны быть рассмотрены другими приемами. Именно в связи с этим динамическое программирование оказывается более простым методом. Вместо того чтобы совместно решать большое число уравнений, с помощью динамического программирования можно свести задачу к рассмотрению последовательности функций, зависящих лишь от одной из переменных, описывающих концентрации (см. разд. 2 гл. 3). В методе, использующем дифференциальные уравнения, каждому ограничению соответствуют два уравнения одно—для ограничения, другое—для связанного с ним множителя Лагранжа. В методе динамического программирования каждое ограничение сужает допустимую область и в сущности облегчает решение задачи. [c.199]

    В динамическом программировании часто бывает удобно рассматривать непрерывные варианты задач. В этом разделе сначала будет описан непрерывный вариант задачи управления запасом при фиксированном начальном запасе, а затем получена оптимальная стратегия. Для иллюстрации используемых методов приведен специальный пример. Из непрерывного варианта будет получен аналог УУ-стадийного процесса. [c.378]

    В книге в доступной форме изложены основы методов оптимизации химических производств (классический анализ, вариационное исчисление, принцип максимума, динамическое, линейное, нелинейное и геометрическое программирование). Сформулированы общие положения, касающиеся выбора критериев оптимальности химико-технологических процессов, и приведены их математические модели. Рассмотрены задачи оптимизации конкретных процессов. Второе издание (первое издание выпущено в 1969 г.) дополнено изложением основ геометрического программирования, а также примерами, иллюстрирующими практическую реализацию методов нелинейного программирования. [c.4]

    Кроме того, на примере оптимизации реактора изложен подход к решению реальной вариационной задачи с ограничениями типа неравенств. Решение этих задач представляет собой, вообще говоря, весьма сложную проблему. Однако задачу оптимизации реактора идеального вытеснения все же можно решить, если принять во внимание некоторые свойства оптимизируемого процесса. К сожалению, и общем случае не представляется возможным указать достаточно удобные методы решения вариационных задач с ограничениями тйпа неравенств. Поэтому для каждого конкретного процесса приходится искать са.мый удобный прием или же решать задачу с помощью других методов, например динамического программирования или принципа максимума, более приспособленных для решения таких адач.[c.222]

    Общая процедура решения задачи методом динамического программирования. Проиллюстрируем процедуру решения задачи оптимизации многостадийного процесса на примере процесса, в котором размергюсть векторов состояния и управления на каждой стадии равна единице. Это позволяет повысить наглядность проводимых рассуждений при помощи графическ[1Х построений. [c.255]

    Выбор метода решения определяется, прежде всего, спецификой инженерной постановки задач. Естественно, всегда, когда возможно, целесообразно использовать суш,ествующие методы решения задач, в частности стандартные, но часто необходима разработка новых методов. Приведем несколько примеров специальной разработки или модификации методов решения математических задач применительно к водным проблемам. Схема ветвей и границ использована для решения ряда водохозяйственных задач в потоковой постановке [Хранович, 2001]. Решение задачи вертикальной планировки орошаемых земель базируются на методе групповой координатной оптимизации [Коробочкин и др. , 1972]. Метод разгонки невязок [Левит-Гуревич, 1969] был разработан для решения задач гидравлики. Многошаговые схемы динамического программирования находят широкое применение в многочисленных водохозяйственных приложениях. Модификации этой схемы для решения конкретных задач излагаются в последуюш,их главах настояш,ей монографии. [c.63]

    Единый подход к аналитическому решению широкого класса задач на разыскание экстремума функции большого конечного числа переменных дает теория динамического программирования Веллмана [1]. Сущность этой теории покажем на примере типичной задачи оптимизации, возникающей в химической технологии. Требуется найти оптп. 1альный режим для последовательности N реакторов (или Л -стадийного аппарата), причем на каждой стадии варьируется М независимых переменных. Пронумеруем реакторы в обратном порядке, так что первый номер присваивается последнему, а И-я — первому по ходу потока реактору. Состояние потока на выходе /г-го реактора обозначим индексом п в соответствии с этим исходное состояние потока обозначается индексом //-Ы (см. нижеи.риведенную схему) [c.238]

    Динамическое программирование применяется при решении многих задач, связанных с управлением химическими процессами. Наприйер, в процессе используется катализатор, активность которого падает с течением времени, вследствие чего его надо периодически заменять требуется выбрать условия ведения процесса и назначить сроки замен катализатора для максимизации прибыли Описаны и другие примеры Можно ожидать дальнейшего развития метода и расширения области его применения  [c.446]

    Задача распределения нагрузок между реакторами с катализатором различной активности рассматривается в статье В статье Робертса а также в его монографии для решения задачи распределения нагрузок между реакторами используется метод динамического программирования. В работе Коттера подробно рассматривается задача распределения нагрузок между конкретными промышленными аппаратами с помощью метода наискорейшего спуска и метода динамического программирования. Приводятся подробно разработанные примеры распределения нагрузок газовых компрессоров и теплообменников. [c.78]

    Ниже рассматриваются методы поиска и возможности стыковки этих методов с программой PA ER. Сначала дается пример поиска по одной переменной методом золотого сечения . Затем излагается метод Хука — Джинса — прямой поиск в многомерном пространстве. И наконец, обсуждается динамическое программирование — метод, позволяющий разбить многостадийную задачу на ряд более простых задач. [c.280]


Метод динамического программирования на основе моделирования для планирования обмена в сети сбора и распределения портов

В качестве одного из эффективных методов уменьшения перегрузки пересечение классов уже было изменено на обмен в сети сбора и распределения портов (PCDN) многих китайских портов , так как первая развязка была построена в PCDN порта Далянь в 1924 году. В связи с растущим спросом на грузовые перевозки в порту, заторы в PCDN становятся одной из неизбежных проблем, которые необходимо решить. В этой статье рассматривается наилучшая проблема многоступенчатого решения при планировании обмена в PCDN на сетевом уровне. Основные проблемы заключаются в том, как оценить время задержки и справиться с высокими неопределенностями в сети портов и PCDN. Поэтому модель динамического программирования (DP), основанная на имитационном моделировании, предлагается с целью минимизации общих затрат в течение срока службы за счет объединения модели DP и двух вложенных имитационных моделей. Две имитационные модели построены для расчета стоимости задержки в модели оптимизации, которую невозможно рассчитать с помощью математического анализа из-за сложных схем движения транспортных средств и нерегулярного объема движения, вызванного случайными событиями, такими как характер прибытия судов, естественные условия, и срок хранения грузов.Наконец, в качестве примера представлен реальный проект на севере Китая. Предлагаемый метод применим в аналогичных случаях и позволяет решать аналогичные сложные многоступенчатые задачи.

1. Введение

Согласно статистике Конференции Организации Объединенных Наций по торговле и развитию (ЮНКТАД) за 2016 год, 89,9% объема мировой торговли перевозится судами. Порты по-прежнему являются важными узлами в логистической цепочке транспортного сектора. На портовую сеть сбора и распределения (PCDN), которая соединяет порты и системы городского транспорта, влияют как грузовые перевозки в порту, так и городские пассажирские перевозки.В связи с растущим спросом на грузовые перевозки в портах, заторы в PCDN становятся одной из неизбежных проблем, которые необходимо решать.

Наше исследование основано на реальном случае; местные органы власти собираются заменить некоторые перекрестки на развязки в течение срока службы PCDN, так как реконструкция развязки может эффективно уменьшить заторы. Для лиц, принимающих решения, очень важно получить наилучшее время строительства развязки для каждого узла в PCDN: когда и какое пересечение следует реконструировать, чтобы минимизировать общие затраты, включая затраты на строительство и затраты на задержку? Особенность и сложность этой проблемы многоступенчатого динамического программирования (DP) заключается в объеме трафика в сети PCDN, который не является стабильным и периодическим. Насколько нам известно, до сих пор это пытались сделать лишь в нескольких исследованиях из-за особенностей такого рода проблем.

Модель DP всегда использовалась в такого рода многоэтапных задачах принятия решений, так как она была предложена Беллманом [1]. Оптимизация замены оборудования — одно из характерных направлений исследований. Уодделл [2] провел исследование, основанное на тематическом исследовании компании Phillips Petro Company, с целью оптимизации решений по замене отдельных тракторов для шоссе. Хартман [3] принял во внимание замену оборудования с анализом чистой приведенной стоимости.Могхаддам и Ашер [4] предложили математическую модель графиков профилактического обслуживания для системы компонентов с возрастающей интенсивностью отказов. Эта модель решалась методом ветвей и границ. Bacalhau et al. [5] построили модель оптимизации, которая была ограничена надежностью системы для оптимизации профилактического обслуживания. Эта модель направлена ​​на поиск наилучшей взаимосвязи между надежностью системы и распределением ресурсов обслуживания и была решена с помощью подхода с уменьшенным DP. Аверса и Шапиро [6] приняли во внимание затраты на техническое обслуживание и восстановление, налоговую амортизацию и другие затраты и использовали модель динамического программирования, чтобы решить, когда обслуживать, восстанавливать или заменять устаревшие машины, соответственно.Fan et al. [7] провел серию исследований по проблеме замены оборудования и предложил разработанный метод DP, который является общим.

Однако отдельные узлы обмена в PCDN не являются независимыми друг от друга. Когда перекресток меняют на развязку, в этот период он становится непроходимым для транспортных средств. Даже небольшое изменение может оказать существенное влияние на PCDN, что может привести к изменению маршрутов движения транспортных средств в соответствии с требованиями времени и грузовых перевозок.Проблема, предложенная в этой статье, должна быть решена на сетевом уровне по сравнению с уровнем проекта.

Многие исследователи изучали проблему модернизации сети в отношении автомагистралей, мостов, цепочек поставок и т. д. в области транспортного машиностроения. Сетевые теории широко используются при модернизации критической инфраструктуры. Например, Liu et al. [8] сосредоточили внимание на проблеме оптимизации ограниченных ресурсов для модернизации нескольких автомобильных мостов для повышения устойчивости и надежности всей рассматриваемой транспортной системы.Fan et al. [9] применили теории сетей и подходы к оптимизации системы для решения проблемы сети автомагистралей в условиях сейсмической опасности, а модель двухэтапного стохастического программирования используется для оптимизации решения по модернизации, чтобы минимизировать ущерб, причиненный будущими землетрясениями. Ган и Сюй [10] предложили модель нечеткого случайного многоцелевого двухуровневого программирования, чтобы сформулировать проблему хеджирования сейсмического риска с целями затрат на модернизацию и выгод на двух отдельных уровнях. Донг и др.[11] провели исследование по сейсмической оптимизации мостовых сетей на основе устойчивости и приняли во внимание затраты и выгоды от модернизации, чтобы уменьшить ущерб от землетрясения для общества, экономики и окружающей среды.

Кажется, что теории сетей вместе с подходом DP могут помочь решить предложенную проблему планирования построения узлов обмена. Тем не менее, необходимо учитывать различия между PCDN и другими сетями инфраструктуры. Ключевое отличие заключается в наложении объемов перевозок, которое обусловлено как портовыми грузовыми перевозками, так и городскими пассажирскими перевозками.Из-за случайности захода судов и сложной системы работы портов сложно сформулировать портовые грузовые перевозки с увеличением пропускной способности порта. Такой вопрос в настоящее время не рассматривается в задачах DP сетевого уровня.

Объем трафика в PCDN, который не является постоянным и периодическим, отличается от транспортного потока в городской дорожной сети. В большинстве исследований проблем трафика в PCDN уделяется внимание проблеме заторов, вызванных грузовиками на воротах порта.Гуань и Лю [12] использовали модель организации очередей с несколькими серверами для анализа проблемы перегрузки ворот и расчета стоимости ожидания грузовиков. Chen et al. [13] предложил метод временных окон, зависящий от судна, для контроля прибытия грузовиков. Что касается взаимосвязи между городской территорией и портом, то количественное исследование провести сложно. Поуп и др. [14] продемонстрировали модель Q-GERT для воздействия транспортных потоков на порты, расположенные в сильно перегруженных районах. Эта модель использовалась для определения влияния конкретных изменений в планировании, таких как строительство нового межгосударственного участка автомагистрали, на порты.Cartweight et al. [15] провели исследование транспортных потоков в портах Лонг-Бич и Лос-Анджелеса, чтобы выяснить, как порт и непортовые перевозки грузовых автомобилей растут. Бин Ю и др. [16] использовали динамическую модель системы для моделирования взаимосвязи между системой наземного транспорта и экономикой в ​​порту и проанализировали влияние различных уровней транспортировки на системы наземного транспорта.

Количественная оценка стоимости задержки при различных сценариях — еще одна сложная задача. Сценарии определяются каждый год путем объединения разного трафика и различного статуса узлов (перекрестков или развязок).Бильбао-Убиллос [17] сосредоточился на повторяющихся заторах, разработал математическую формулу, учитывающую как частные, так и социальные издержки, и применил имитационную модель для оценки потерянного времени. Гарридо [18] взял Антофагасту в Чили в качестве примера и рассчитал стоимость перегрузки на основе модели микросимуляции. Бардал и Йоргенсен [19] использовали обычную модель риска и модель потери времени для анализа стоимости задержки дорожно-транспортных происшествий и общих социальных издержек. Замечено, что на стоимость задержки на дорогах влияет объем движения на каждой дороге, тип дорожной сети, случайное поведение транспортного средства при движении (например,g., слежение за автомобилем и смена полосы движения) и т. д., которые нельзя просто описать как математическую модель, как упомянутые ранее исследования. Моделирование трафика работает как эффективный инструмент в изучении проблемы перегруженности дорожной сети путем моделирования условий движения в реальном времени. Например, Jung et al. [20] использовали модель микросимуляции, чтобы изучить влияние дождливой погоды на безопасность на автомагистралях. Burgholzer et al. [21] построили модель микросимуляции для интермодальной транспортной сети, которая может моделировать сеть, а также участников трафика и индивидуальные решения на основе реальных данных, а время задержки было выведено для определения критических участков и критических сетей.Лю и др. [22] использовали программное обеспечение VISSIM для имитации разворотов на несигнализованных перекрестках и приняли во внимание особенности поведения, такие как правило приоритета, выбор полосы движения. Донг и др. [23] предложили общегородскую модель трафика для моделирования управления и интеллектуального контроля в транспортной сети с целью выявления важных звеньев дорожной сети.

Вышеупомянутые работы по проблемам модернизации сети в основном сосредоточены на шоссе или мостах; сложность и специфика PCDN еще не рассматривались.Ключевое различие между PCDN и другой инфраструктурой заключается в наложении объемов перевозок, которое обусловлено как портовыми грузовыми перевозками, так и городскими пассажирскими перевозками. Огромное количество прошлых исследований, посвященных PCDN, обращает внимание на проблему заторов, вызванную дряблыми грузовиками в системе ворот порта, в то время как городское движение также влияет на PCDN. Из-за случайности захода судов и сложной системы работы портов сложно сформулировать портовые грузовые перевозки с увеличением пропускной способности порта.Чтобы решить эту проблему, мы строим имитационную модель на основе реального проекта по расчету объема движения дренажных грузовиков из портов. Кроме того, четырехэтапный метод используется для прогноза интенсивности городского движения. Затем модель DP строится для решения многоступенчатой ​​задачи принятия решений.

В этом документе будет показано, как имитационная модель PCDN может быть интегрирована с методами DP для выработки эффективных решений по расписанию обмена с точки зрения сетевого уровня. Мы стремимся разработать основанную на моделировании математическую модель DP для задачи планирования строительства узлов обмена (INCS) с учетом случайных объемов трафика и сложного поведения автомобилей. Наш исследовательский подход о том, как всесторонне учитывать случайный объем трафика из портов и городских районов и как решить многоступенчатую задачу решения большой необратимой реконструкции инфраструктуры с огромными затратами, может быть отсылкой к аналогичным проектам.

Остальная часть этого документа организована следующим образом. В разделе 2 более подробно описывается проблема INCS, включая сетевое представление, обозначения и описание проблемы. Раздел 3 посвящен представлению подхода DP на основе моделирования.В Разделе 4 проводится реальное исследование PCDN в Даляне, Китай, с последующими выводами и дальнейшими обсуждениями в Разделе 5.

2. Описание проблемы и обозначения

PCDN сталкивается с серьезной проблемой перегрузки из-за конкуренции портов. и городской транспортный поток при ограниченных ресурсах. Как показано на рисунке 1, перекрестки в PCDN, которые связаны между собой под влиянием портового и городского движения, подвержены дорожно-транспортным происшествиям, заторам транспортных средств и другим случайным событиям. Реконструкция развязки — хороший способ улучшить пропускную способность [24]. Как правило, в дорожной сети имеется несколько перекрестков (например, в PCDN на Рисунке 1 существует 14 перекрестков). Решение о том, какой перекресток следует заменить на узел развязки, не может быть принято только на основе дневного объема движения на перекрестке, его связи с другими объектами или ежедневного времени загруженности. Решение о строительстве развязки должно приниматься на сетевом уровне.


Для каждого узла решения о построении развязки означают, следует ли изменять пересечение в PCDN на развязку или нет.Решения принимаются в рамках общих инвестиционных бюджетов местными органами власти, чтобы минимизировать полную стоимость в течение срока службы. При динамическом изменении объема трафика проблема INCS представляет собой проблему принятия многоступенчатых решений.

Как описано в предыдущем разделе, в этой статье основное внимание уделяется оптимальному времени построения для каждого узла в PCDN. Чтобы решить проблему многоступенчатого решения на уровне сети, PCDN обозначается как G ( N , A ), где N представляет набор узлов, а A представляет собой набор дуги.Каждый узел n i в N соответствует реальному пересечению в PCDN, а является порядковым номером узла. Мы можем определить любое из пересечений как первое, как показано на рисунке 1. Определите a i как дугу рейса от узла n i до n i + 1 . Например, на рисунке 1 a 1 определяется как дуга от узла n 1 до n 2 .Пусть переменная решения представляет условие построения узла n i в каждый год t . равен 1, если перекресток заменен на развязку, и 0 в противном случае.

Общая стоимость тонн в год , включая все затраты на строительство узлов модернизации и стоимость задержки PCDN, трудно сформулировать из-за динамического изменения объема трафика в реальном времени. Объем перевозок в PCDN включает три части: городские пассажирские перевозки, пассажирские и грузовые перевозки, создаваемые логистическими зонами в зоне PCDN, и грузовые перевозки, создаваемые портами.В том числе, городские пассажирские перевозки, а также пассажирские и грузовые перевозки, производимые логистическими зонами в зоне PCDN, которые изменяются в соответствии с часами пиковой нагрузки, могут быть легко сформулированы с помощью статистических данных местного управления дорожного движения и институтов городского планирования и проектирования. Тем не менее, динамическое грузовое движение порта в режиме реального времени у ворот, на которое влияют случайные прибывающие суда, природные условия, срок хранения грузов, количество объектов в порту, расположение и размер портов и т. Д., трудно представить математической формулой из-за высокой неопределенности и сложности в системе эксплуатации порта. В этой статье будет представлена ​​имитационная модель порта для расчета динамического грузопотока ( ч ) у ворот портов, где — количество ворот, а ч — время. Затем объем трафика, создаваемый в PCDN, можно получить, рассматривая шлюзы как узлы происхождения и назначения для PCDN.

Проблема маршрутизации транспортных средств (VRP) для трафика в PCDN должна быть решена, чтобы можно было рассчитать объем трафика для каждого узла и стоимость задержки.Из-за влияния загруженности трафика, предпочтений водителей, руководящих мер и т. Д. На выбор маршрута, VRP следует рассчитывать с помощью теорий микротрафика [25]. Таким образом, создается микроскопическая имитационная модель движения с использованием входных данных, которые также можно использовать для сравнения различных условий движения между перекрестками и различными типами развязок. Затем стоимость задержки для каждого года t будет получена путем объединения двух имитационных моделей вместе. На следующий год t +1 необходимо пересчитать стоимость задержки с изменением пропускной способности порта и состояния сети.

3. Методологии
3.1. Model Framework

Многие сложные системы, такие как производство, цепочка поставок и контейнерные порты, слишком сложны для аналитического моделирования. Моделирование было полезным инструментом для оценки производительности таких систем. Однако вместо поиска наилучшего решения метод моделирования может выводить данные или оценочный индекс только при заданном условии. Следовательно, во время этого исследования необходима интеграция моделирования и оптимизации.

Как упоминалось ранее, есть две основные проблемы, связанные с изучением воздействия и оптимизацией затрат. Первый — выяснить, как меняется объем трафика с ростом пропускной способности порта. Имитационная модель I создана для моделирования всех действий в районе порта, включая прибытие судов, рабочий процесс и внутренние перевозки грузовиками. Объем выходного трафика модели Simulation Model I будет входными данными для микроскопической модели движения Simulation Model II .В отличие от Simulation Model I , Simulation Model II фокусируется на системе сбора и распределения за пределами зоны порта. Эти две модели взаимно независимы. Как показано на рисунке 2, имитационные модели будут выводить набор результатов и передавать их в модель оптимизации через интерфейс данных. По результатам алгоритм корректирует направление поиска оптимального решения и создает новый набор возможных решений. Процесс будет повторяться до тех пор, пока не будет удовлетворен критерий остановки.В разделах 3.2 и 3.3 описываются математическая модель и имитационные модели I и II соответственно.


3.2. Модель DP для PCDN

Решения о строительстве развязки принимаются местными органами власти для минимизации общей стоимости в течение всего срока службы. Таким образом, устанавливается многоступенчатая дискретная модель ДП.

Модель DP широко используется при решении задачи замены оборудования на конечном горизонте. Алгоритм обратной итерации, который используется для решения модели DP, разработан Беллманом и следует принципу оптимальности.Основная идея этого алгоритма состоит в том, чтобы преобразовать n переменных решения в набор n оптимизации с одной переменной. Рисунок 3 иллюстрирует упрощенную задачу с двумя пересечениями и четырьмя этапами решения. Каждая дуга представляет собой решение либо сохранить пересечение, либо заменить пересечение развязкой. «Хвостовая» часть должна быть оптимальной, поэтому мы решаем задачу обратной рекурсией, как показано на рисунке. После решения подзадачи длины k м задача длины м + 1 может быть легко решена, тогда .


Для каждого узла уравнение перехода состояний от временного этапа t к t +1 описывается следующим образом: где — этап узла в момент времени t , который обозначается как возраст каждого пересечения; равен 0, когда перекресток заменен на узел обмена.

Затем многоступенчатая модель DP для PCDN формулируется следующим образом: где — стоимость каждого узла n i в год t , когда возраст пересечения равен, что может быть выражено как

— это стоимость задержки из-за перегрузки на дорогах для PCDN, на которую влияет рост расхода топлива и затрат на рабочую силу, которая состоит из заработной платы водителей грузовиков, как показано, где и — расход топлива и затраты на рабочую силу, соответственно; и — среднее время задержки легковых и грузовых автомобилей для каждого узла в момент времени t ; и — стоимость топлива при низкой скорости для легковых и грузовых автомобилей; и представляют собой заработную плату водителей легковых автомобилей и водителей грузовиков.

Некоторые ограничения описаны ниже. Где B — общий бюджет инвестиций в строительство, а e — верхний предел, который может быть определен пользователями.

Ограничение (8) ограничивает переменную решения, а (9) указывает, что построение обменов необратимо. Уравнение (10) означает, что время задержки имеет верхний предел.

Поиск оптимального решения по планированию строительства развязки для минимизации всех затрат с первого года до срока службы. T .Для получения и имитационные модели строятся в виде черного ящика для вывода значений времени задержки.

3.3. Имитационная модель
3.3.1. Допущение имитационной модели

(a) Когда кран начинает обслуживать судно, он не может перейти к другому судну, если работа судна не завершена.

(b) Поломки оборудования и требуемый ремонт оборудования не моделируются.

(c) Назначение трафика следует принципу выбора сегментов с минимальным сопротивлением трафика.

3.3.
2. Создание имитационной модели

В этом документе имитационная модель прогнозирования объема трафика создается для анализа взаимосвязи между пропускной способностью порта и объемом трафика на воротах порта. Эта имитационная модель имитирует весь процесс в порту (как показано на рисунке 4). Результаты прогноза объема трафика используются в качестве входных данных для микроскопической имитационной модели сети. Затем время задержки может быть получено после запуска микроскопической имитационной модели.


Имитационная модель I: модель прогнозирования объема трафика у портовых ворот . Представлена ​​объектно-ориентированная имитационная модель с использованием программного обеспечения ARENA 10.0 для моделирования всего процесса операций внутри транспортной сети порта. Мы возьмем процесс импорта в контейнерный порт в качестве примера для описания модели Simulation Model I . Процесс экспорта почти противоположный.

( 1 ) Подмодуль прибытия и отбытия судов . Этот подмодуль описывает процесс прибытия и отбытия судов после процесса погрузки и разгрузки, как показано на рисунке 5.


Судно прибывает в порты в соответствии с графиком отгрузки или видом распределения вероятностей, который пользователи могут определить. Судну назначаются его атрибуты, такие как скорость, тоннаж и объем контейнера, в модуле создания. Затем судно идет по водному пути или ждет стоянки на якорных стоянках, пока не освободится причал с таким же тоннажем.

После разгрузки и погрузки контейнеров в подмодуль обработки, судно покинет порт по водному пути в соответствии с правилом, которое могут определить пользователи.

( 2 ) Подмодуль обработки . Этот подмодуль моделирует процесс погрузки и разгрузки, транспортировку грузовиков внутри порта и процесс работы на верфях, как показано на рисунке 6.


Когда судно швартуется у причала, грузовики будут ждать под причальными кранами, если они не заняты, иначе они не вернутся к причалу, пока не закончат свою работу. Грузовик внутри порта движется по правилу кратчайшего пути. Когда грузовик загружается со стороны набережной, он транспортирует контейнеры к блокам назначения и ждет, пока незанятый кран-манипулятор разгрузит контейнеры. Все время обслуживания оборудования соответствует распределению вероятностей, которое задается пользователем в зависимости от конкретного случая, например, треугольное распределение или равномерное распределение. Для нашего тематического исследования в Разделе 4 время обслуживания каждого складского крана следует треугольному распределению со средним значением 1.5 минут.

( 3 ) Подмодуль грузового транспорта. Прибытие и отправление грузовиков моделируются в этом подмодуле, как показано на Рисунке 7.


Для импортных контейнеров внешний грузовик подъедет, чтобы забрать их и отправить из порта после периода хранения. , который следует за своего рода распределением вероятностей.

Как показано на Рисунке 6, необходимо выделить контейнер для контейнера, чтобы заранее определить целевую площадь для каждого внешнего грузовика. Кроме того, в модели учитывается осмотр контейнеров.

( 4 ) Подмодуль расчета трафика . Как показано на Рисунке 8, этот модуль используется для расчета количества и времени работы дренажных тележек. По срокам хранения, предоставленным логистическими компаниями, мы можем получить график приема этих контейнеров. Затем время прибытия и отправления для каждого внешнего грузовика может быть получено на основе реального рабочего процесса, который описан в подмодуле.


Входы для моделирования. Модель имеет множество определяемых пользователем констант, таких как количество причалов, размер двора и количество помещений. Кроме того, другие входные данные, такие как время прибытия судов и внешних грузовиков, время обработки объектов и время хранения контейнеров на верфи, являются стохастическими. Здесь мы берем правило распределения прибывающих судов в качестве примера, чтобы показать, как мы справляемся со стохастическими входными факторами.

Закон распределения получен методом хи-квадрат.Многие порты в Китае, такие как порт Нинбо, порт Гуанчжоу и порт Далянь, были взяты в качестве образцов, чтобы попытаться обнаружить закономерность. Результаты показаны следующим образом.

( 1 ) Распределение количества заходящих судов в сутки. Для большинства контейнерных портов распределение количества заходящих судов в день следует распределению Пуассона, как показано на Рисунке 9.

Только для небольшого числа крупных контейнерных портов, судоходные линии которых сравнительно однообразны, распределение подчиняется нормальному распределению, как показано на рисунке 10.


(а) Международный контейнерный порт Яньтянь
(б) Порт Яньтай Хуаньцю
(а) Международный контейнерный порт Яньтянь
(б) Порт Яньтай Хуаньцю

( 2 ) Распределение Время прибытия судов. Рисунок 11 показывает, что время прибытия судов в большинство портов Китая подчиняется отрицательному экспоненциальному распределению.

Выходы моделирования . Выходные данные модели — время прибытия и отправления каждого корабля и грузовика.Мы также можем рассчитать уровень обслуживания порта, время ожидания каждого корабля и грузовика, а также время работы всех объектов. Тогда можно получить объем трафика на каждом выходе из портов.

Simulation Model II: Микроскопическая имитационная модель трафика для узлов

( 1 ) Прогноз объема генерируемого трафика в PCDN . Объем перевозок в PCDN включает две части: объем грузовых перевозок и объем пассажирских перевозок. Объем пассажиропотока может быть получен на основе схемы PCDN.Например, как показано на рисунке 12, зона PCDN разделена на множество блоков, таких как банковский и страховой бизнес, зона отелей и курортов, жилой район и торговый центр. Каждый блок в PCDN можно рассматривать как исходный и целевой узел. Затем объем трафика, генерируемый для каждого блока, можно прогнозировать четырехэтапным методом в соответствии с методологией, предложенной Институтом инженеров транспорта [26].


Кроме того, в PCDN есть несколько логистических зон, которые будут обеспечивать грузовые перевозки по сети.Для определенной логистической зоны известны размер, функции и объем ежегодно обрабатываемых грузов, которые предоставляются градостроительными и проектными институтами. Затем можно получить средний объем грузовых перевозок для каждой зоны.

Другая часть объема грузовых перевозок получена из имитационной модели I . Объем трафика меняется со временем, и в этом документе в качестве примера взят средний объем трафика и объем в утренние и вечерние часы.

( 2 ) Прогноз распределения поездок. Для пассажиропотока распределение поездок прогнозируется с помощью модели двойного ограничения силы тяжести [27].

Объем грузопотока делится на две части: распределение трафика из порта и современные логистические зоны. Узлы назначения грузовых перевозок для PCDN немногочисленны и понятны, например, развязка гавани с шоссе. Затем можно спрогнозировать распределение рейсов на основе исторических данных, предоставленных портовыми и логистическими компаниями. Если исторические данные отсутствуют, долю объема грузовых перевозок для каждого узла назначения в PCDN можно оценить с помощью анкеты или с учетом конечного пункта назначения груза, что не является предметом внимания данной статьи.

( 3 ) Модельное предприятие . Объем трафика в PCDN и прогноз распределения поездок работают как входные данные модели TransCAD. В статье используется TransCAD на основе реальной карты, которая сочетает в себе ГИС и транспортное моделирование на единой интегрированной платформе. Сеть может быть построена в модели TransCAD с атрибутами дорог и узлов, такими как длина, скорость, пропускная способность, ширина и тип (магистраль, подъезд, ответвление и т. Д.) Связей, количество полос и тип. перекрестков.Для распределения трафика могут применяться метод стохастического пользовательского равновесия и метод системной оптимизации или инкрементального метода. Затем объем трафика для каждого канала и узла может быть получен на уровне Transit Flow после запуска модели, как показано на рисунке 13.


Вместо математической модели и макроскопической модели микроскопическая имитационная модель транспортного потока может описывать подробное описание поведения транспортных средств, что является эффективным способом изучения условий движения на каждом перекрестке.Таким образом, на основе программного обеспечения VISSIM мы построили микроскопическую модель трафика для PCDN. Результирующий объем трафика модели TransCAD будет введен в качестве параметров в этой микроскопической имитационной модели трафика.

В соответствии с реальной дорожной сетью можно получить информацию, включая ширину дороги и направление. Каждый участок дороги описывается направленным модулем Link. Модуль Connector соединяет разные участки дороги, как показано на рисунке 14. Существует конфликтная область, где два соединителя перекрываются.В конфликтных зонах поток трафика будет контролироваться правилом сигнала и приоритета. На основе модуля Link и модуля Connector, как упоминалось ранее, создается PCDN.


(a) Объем трафика, полученный из TransCAD
(b) Микроскопическая модель трафика для перехода
(a) Объем трафика, полученный из TransCAD
(b) Микроскопическая модель трафика для перехода

Для моделирования микроповедение транспортных средств в реальной дорожной сети, такое как следование за автомобилем и смена полосы движения, четыре модуля в программном обеспечении для моделирования VISSIM, а именно: построение окружающей среды, моделирование вождения автомобиля, моделирование управления движением и моделирование выбора пути, применяются к провести анализ микромоделирования.Среднее время задержки транспортных средств через перекрестный узел на каждом участке дороги может быть получено с помощью детекторов данных, установленных на каждом участке дороги перекрестного узла.

4. Практический пример

Практический пример проводится на основе реального проекта в северном Китае. Пропускная способность контейнеров составила 625 тыс. TEU в 2015 году и вырастет до 7,3 млн TEU в 2030 году в соответствии с планом порта . До 2030 года останется только один шлюз порта, который определяется как шлюз A, как показано на рисунке 15.В 2030 году будут введены в эксплуатацию ворота B и C. PCDN, желтая область на Рисунке 15, состоит из двух поперечных и трех продольных магистралей (красные дороги на Рисунке 15). Четыре ключевых узла сталкиваются с растущим давлением трафика. Местные органы власти попросили помочь определить время строительства четырех перекрестков. Поэтому применяется подход DP на основе моделирования, предложенный в этой статье.


4.1. Входные данные модели

Согласно статистическим данным для этого контейнерного порта, временной интервал прибытия судов следует отрицательному экспоненциальному распределению.Количество судов, прибывающих в день, соответствует распределению Пуассона. Бакши и др. [28] на основе реальных данных двух международных контейнерных портов делает вывод о том, что график прибытия тягловых грузовиков следует распределению Пуассона. Количество дней простоя из-за природных условий составляет около 15 дней в году. Срок хранения импортной тары — 7–10 дней, экспортной — 3-5 дней. Прогнозируемые значения пропускной способности и количества судов в год можно получить из Port Plan .Из-за объема документа и принципа конфиденциальности пропускная способность и количество судов и причалов за три репрезентативных года, 2015, 2020 и 2030 годы, указаны в таблице 1 в качестве примера. В настоящее время мы предполагаем, что период времени составляет 16 лет, что означает, что решение о строительстве для каждого узла должно быть принято с 2015 года ( тонн = 0) до 2030 года.

903

Год 2015 2020 2030

Пропускная способность / млн TEU 0.625 1,1 7,3

Количество судов 328 651 3789

903 12

Согласно местным статистическим данным и данным планирования от правительств и логистических компаний, объем пассажирских и грузовых перевозок из городских районов и местных логистических зон перечислены в таблице 2 для трех репрезентативных лет, 2015, 2020 и 2030. Объемы грузовых перевозок из портов генерируются с помощью имитационной модели I . Затем TransCAD используется для генерации общего распределения потока трафика в PCDN каждый раз. После этого параметры, такие как поведение при вождении, используемые в VISSIM, показаны в таблице 3. Среди них модуль слежения за автомобилем — Wiedemann 74.

9035

Год Пассажиропоток Объем грузовых перевозок из логистических зон
Количество пешеходов в день Количество автотранспортных средств в день Количество грузовых автомобилей в день
Достопримечательности Productions Достопримечательности Productions

2015 23118 23358 10869 9678 1120 9678 1120

20763 2240
90 366
2030 39816 30447 30516 23874 13082

Параметры Параметры поведения автомобиля при смене полосы движения Параметры поведения при смене полосы движения
Средний тормозной путь / м Дополнение безопасного расстояния / м Кратное безопасное расстояние / м Максимальное замедление / (м · с −2 ) Допустимое замедление / (м · с −2 ) Минимальный интервал перемещения / м

Скорректированное значение 2.00 2,75 3,75 -4,20 -1,30 0,50

По строительным данным проектных организаций стоимость 1 37 900 38, n 3 и n 4 узлов составляет около 105 миллионов юаней, в то время как стоимость n 2 составляет 140 миллионов юаней. и составляют 5,8 и 4,5 тысячи юаней в месяц, а и составляют 10.8 и 7,2 юаня в час.

4.2. Результаты

Объемы выходного трафика в узле ворот порта, полученные из имитационной модели I , показаны в таблице 4 для трех репрезентативных лет: 2015, 2020 и 2030. На рисунке 16 показан пример результата распределения рейсов для объема пассажиропотока в 2015 год. На рисунках 17–19 в качестве примера показана сеть без обменов в 2015, 2020 и 2030 годах, чтобы показать, как объем трафика представлен в TransCAD. Хуанхэ-роуд и Хуайхай-роуд столкнутся с большой загруженностью дорог.На рисунке 20 в качестве примера показана сеть с одной развязкой для узла n 1 , чтобы продемонстрировать, как на объем трафика влияет изменение перекрестков на развязки. На основе объема трафика в PCDN VISSM моделирует сложное поведение в дорожной сети и выводит время задержки каждый год.

6 9035

Год Gate Максимальное количество грузовиков в день Среднее количество грузовиков в день
A 132 74

2020 A 242 160

206
9035
206 534 373
C 422 280



влияние


влияние ошибки системы, чтобы устранить ошибки системы результаты имитационной модели микрокосмоса представляют собой усредненные данные по b asis 10 повторений.Мы используем алгоритм обратной итерации, как указано в разделе 3.2, для решения этой основанной на моделировании задачи DP на основе MATLAB. Оптимальные результаты: (0, 0, 1 1 , 1 2 , 125036,9). Результаты показаны в таблице 5. Результаты показывают, что строительство узла 3 должно быть завершено в 2016 году, а узла 4 должно быть завершено в 2018 году. Минимальная стоимость составляет 1250 миллионов юаней.

51

Номер узла Значения Время строительства
X 903 905 903 Среднее время задержки (с) 0 45.7 ——
2 0 22,9 ——
3 1 19,7 2016
1

Кроме того, учитывая, что стоимость строительства для каждого узла зависит от многих факторов, таких как тип и количество полос движения, анализ чувствительности стоимости строительства изменяется с 75 миллионов юаней до Было получено 240 миллионов юаней, как показано в Таблице 6.

1355 465

Стоимость строительства
(млн юаней)
Узел строительства Общая стоимость (млн юаней)
узел 2

75 100 Полный узел 2 и 4 в 2016 году 743,872
90 120
105 140 Полный узел 3 в 2016 г., а узел 4 в 2018 г. 1250,370
120 160 Узел 2 и 4 в 2022 г. 1380668 13535567
180 Завершить узел 2 в 2020 г., а узел 4 в 2022 г. 1488.410
150 200 Полный узел 3 и 4 в 2020 г. 1602.452
165 7 узел 2 в 2020 году, а узел 4 в 2022 году 1558.410
180 240 Полный узел 3 и 4 в 2022 году 2107.794

В таблице 6, когда стоимость строительства составляет 1 75 миллионов юаней для узлов , и 4, график строительства таков, что узлы 2 и 4 должны быть завершены в 2016 году; при стоимости 90 млн юаней узлы 2 и 3 должны быть завершены в 2018 году. Схема строительства меняется с ростом стоимости строительства, но количество узлов необходимо изменить, чтобы развязки остались прежними.Другими словами, необходимо модернизировать два узла, чтобы сеть дорог была быстрой и эффективной. Более того, доля стоимости строительства практически не меняется при увеличении стоимости строительства, которая составляет около 20% от общей стоимости.

Чтобы оценить вышеупомянутый метод, мы проводим эксперимент, основанный на традиционном методе, согласно которому наиболее загруженные перекрестки будут заменены на развязки с увеличением пропускной способности порта. Результаты традиционного метода показывают, что когда пропускная способность портов увеличивается до 7 миллионов TEU, требуется завершить строительство только узла 2.В таблице 7 показано время задержки транспортного средства после реконструкции этих двух методов.


Тип транспортного средства Традиционный метод A Simulation- Общее время задержки (с) Среднее время задержки (с) Общее время задержки (с)
1 # 2 # 3 # 4 # 1 # 2 # 3 # 4 #

Городской транспорт 33.4 19,9 31,7 39,2 1923635,7 16,4 19,7 11,6 19,1 1385990,4
18,9 33,2 15,7 13,4 1096014,4
Все автомобили 30,9 21,5 33,7 36.5 —— 17,3 26,9 13,6 14,7 ——

5. Выводы и эффективные методы
. перекресток классов уже изменен на чередование в PCDN портов. PCDN, соединяющая порты и городские транспортные системы, находится под влиянием как грузовых перевозок портов, так и городских пассажирских перевозок.В связи с растущим спросом на грузовые перевозки в портах, заторы в PCDN становятся одной из неизбежных проблем, которые необходимо решать. Следовательно, очень важно предоставить метод изучения того, какое пересечение следует изменить на узел обмена в PCDN, чтобы минимизировать все затраты в течение срока службы при динамическом изменении объема трафика.

Основным вкладом данной статьи является обеспечение подхода DP на основе моделирования для решения задачи планирования построения узла обмена в PCDN.Имитационная модель работы порта ( Simulation Model I ) и микроскопическая имитационная модель трафика ( Simulation Model II ) объединяются для вывода времени задержки в PCDN, которое работает как вход модели DP. Предлагаемый метод позволяет решать аналогичные сложные многоступенчатые задачи, которые трудно представить математической формулой из-за больших неопределенностей.

Результаты получены на основе реального тематического исследования. Результаты тематического исследования показывают, что решения о построении развязки не принимаются только на основе объема трафика на каждом узле.Возьмем для примера первую строку в таблице 6, узлы 2 и 4 завершены в 2016 году вместо узлов 2 и 3, объемы трафика которых больше. Кроме того, с увеличением стоимости строительства не более двух узлов в PCDN заменяются на развязки без бюджетных ограничений. Для других тематических исследований результаты могут быть изменены из-за других входных параметров. Однако решение о том, какой перекресток следует заменить узлом обмена в PCDN, не может быть принято только на основании ежедневного объема трафика на перекрестке, его связи с другими объектами или ежедневного времени перегрузки.

Дальнейшие исследования проблемы планирования строительства узлов обмена могут проводиться по нескольким направлениям. Например, на следующем этапе необходимо учесть влияние строительства транспортной развязки на окружающую среду и площадь земельного участка. Кроме того, необходимо учитывать различный период строительных работ.

Доступность данных

Данные, использованные для подтверждения выводов этого исследования, можно получить у соответствующего автора по запросу.

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.

Благодарности

Авторы выражают признательность за поддержку Национальному фонду естественных наук Китая (№№ 51709037 и 51779037). Кроме того, авторы выражают признательность Исследовательскому центру развития портов Даляньского технологического университета за частичное финансирование и устройства.

% PDF-1.7 % 690 0 объект > эндобдж xref 690 120 0000000016 00000 н. 0000004834 00000 н. 0000005731 00000 н. 0000005767 00000 н. 0000006254 00000 н. 0000006381 00000 п. 0000006509 00000 н. 0000006637 00000 н. 0000006771 00000 н. 0000006905 00000 н. 0000007044 00000 н. 0000007183 00000 н. 0000007310 00000 н. 0000007444 00000 н. 0000007578 00000 н. 0000007717 00000 н. 0000007850 00000 н. 0000007989 00000 н. 0000008128 00000 н. 0000008267 00000 н. 0000008406 00000 н. 0000008534 00000 н. 0000008668 00000 н. 0000008802 00000 н. 0000008941 00000 н. 0000009079 00000 н. 0000009205 00000 н. 0000009338 00000 п. 0000009472 00000 н. 0000009606 00000 н. 0000009745 00000 н. 0000009884 00000 н. 0000010023 00000 п. 0000010150 00000 п. 0000010284 00000 п. 0000010410 00000 п. 0000010542 00000 п. 0000010674 00000 п. 0000010853 00000 п. 0000011085 00000 п. 0000011741 00000 п. 0000012478 00000 п. 0000013129 00000 п. 0000013559 00000 п. 0000013596 00000 п. 0000013649 00000 п. 0000014238 00000 п. 0000018158 00000 п. 0000018520 00000 п. 0000018899 00000 п. 0000019128 00000 п. 0000019503 00000 п. 0000019581 00000 п. 0000019656 00000 п. 0000024551 00000 п. 0000024972 00000 п. 0000025361 00000 п. 0000025642 00000 п. 0000026343 00000 п. 0000026759 00000 п. 0000027240 00000 п. 0000027748 00000 н. 0000028202 00000 п. 0000028751 00000 п. 0000029250 00000 п. 0000029914 00000 н. 0000030283 00000 п. 0000030782 00000 п. 0000031423 00000 п. 0000034116 00000 п. 0000035072 00000 п. 0000042800 00000 п. 0000047235 00000 п. 0000053564 00000 п. 0000057822 00000 н. 0000058184 00000 п. 0000058713 00000 п. 0000058825 00000 п. 0000071393 00000 п. 0000071432 00000 п. 0000071490 00000 п. 0000071717 00000 п. 0000071823 00000 п. 0000071920 00000 п. 0000072040 00000 п. 0000072157 00000 п. 0000072393 00000 п. 0000072574 00000 п. 0000072701 00000 п. 0000072937 00000 п. 0000073049 00000 п. 0000073209 00000 п. 0000073398 00000 п. 0000073618 00000 п. 0000073820 00000 п. 0000073987 00000 п. 0000074225 00000 п. 0000074413 00000 п. 0000074528 00000 п. 0000074680 00000 п. 0000074892 00000 п. 0000075093 00000 п. 0000075259 00000 п. 0000075398 00000 п. 0000075542 00000 п. 0000075724 00000 п. 0000075892 00000 п. 0000076068 00000 п. 0000076249 00000 п. 0000076384 00000 п. 0000076577 00000 п. 0000076810 00000 п. 0000077060 00000 п. 0000077220 00000 п. 0000077370 00000 п. 0000077516 00000 п. 0000077676 00000 п. 0000077823 00000 п. 0000004660 00000 н. 0000002752 00000 н. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 809 0 объект > поток x ڬ V {TunlccL0t: Y * & 1 cbqYpy8̘ «` LŎrY $ 2HDNog ~

Произошла ошибка при настройке вашего пользовательского файла cookie

Произошла ошибка при настройке вашего пользовательского файла cookie

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности.Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.

Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:

  • В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
  • Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались.Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, используйте кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
  • Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
  • Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
  • Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie.Вы должны отключить приложение при входе в систему или уточнить у системного администратора.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.

Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файле cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.

динамическое программирование в исследовании эксплуатации

Гуанчжоу ночью, меню Палмера, некоторые лекции по исследованию операций (обычно изучаемые на младших курсах бакалавриата) можно найти в этом репозитории вместе с некоторыми программными кодами Python для решения многочисленных задач оптимизации, включая коммивояжера, минимального связующего дерева и скоро. Навыки. Это помогает определить, как будет выглядеть раствор. Календарь. Исследование операций динамического программирования Энтони Папавасилиу 1/60.Предыдущий рисунок Следующий рисунок. Разработано JavaTpoint. В нем используется идея… — Выборка из исследования операций, 2-е издание [Книга] Динамическое программирование имеет дело с последовательными процессами принятия решений, которые являются моделями динамических систем под контролем лица, принимающего решения. Например, линейное программирование и динамическое программирование… Исследование операций динамического программирования 2. PuLP может генерировать файлы MPS или LP и вызывать GLPK, COIN CLP / CBC, CPLEX и GUROBI для решения линейных задач. динамическое программирование при исследовании операций стандартное динамическое программирование при исследовании операций Вместо целевой функции и ограничений модели динамического программирования состоят из набора уравнений, которые описывают последовательный процесс принятия решений.Динамическое программирование — это подход к оптимизации, который разделяет сложные проблемы на простые последовательности проблем, в которых они взаимосвязаны и приводят к решениям. Динамическое программирование было описано как самый общий из подходов к оптимизации, поскольку оно, по-видимому, может решить самый широкий класс проблем. Знайте алгоритм для рюкзака и его расширений (большее подмножество монет, целое число… Штейнс; ворота Эпизод 12, Кто угодно может задать вопрос Кто угодно может ответить. Лучшие ответы голосуются и поднимаются на вершину бета исследования операций.Оптимизация — это ветвь ИЛИ, которая использует математические методы, такие как линейное и нелинейное программирование, для получения значений системных переменных, которые оптимизируют производительность. В указанных выше условиях идея динамического программирования заключается в построении исчерпывающей таблицы с оптимальными решениями подзадач. Этот метод очень полезен, если модель оптимизации имеет большое количество переменных решения. Затем для определения оптимального пути используется обратное восстановление. Динамическое программирование — это метод оптимизации многоэтапного процесса принятия решений.В каждый момент времени, когда может быть принято решение, лицо, принимающее решение, выбирает действие из набора доступных альтернатив, который обычно зависит от текущего состояния системы. Parcours à distance: Динамика программирования (удержание) URL. Мэтью Марсден Католик, Collingwood AFLW Instagram, Operations Research (UGA) Home; Курсы; Курсы: исследование операций; ИЛИ УГА; Двойственность ☯ Линейное программирование Смешанное целочисленное программирование Двойственность ☯ Двойственность ☯ Двойственность. У него нет обобщенной формулировки.Раздел 7: динамическое программирование 1. Был адаптирован другой материал (например, словарная запись). DUXBURY ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАПИСИ Олбрайт, Уинстон и Заппе, Анализ данных и принятие решений Олбрайт, VBA для разработчиков моделей: разработка систем поддержки принятия решений с помощью Microsoft Excel Berger & Maurer, Экспериментальный дизайн Берк и Кэри, анализ данных с помощью Microsoft Excel Clemen & Reilly, принятие сложных решений с помощью DecisionTools Devore,… Биография Гэри Уэллса, блок 7 динамического программирования 1. Исследование операций (британский английский: операционные исследования) (ИЛИ) — это дисциплина, которая занимается с применением передовых аналитических методов, помогающих принимать более обоснованные решения.Лаверн, Ок Торнадо 2019, агрегатное состояние 114; 621 агрегация в динамическом программировании; Закройте программу просмотра рисунков. Подход динамического программирования предлагает точное решение сложных проблем эксплуатации коллектора. Смешанное целочисленное программирование Другие инструменты исследования операций Динамическое программирование. Просмотрите другие вопросы с метками линейное программирование, исследования, динамическое программирование, или задайте свой вопрос. Lush Band Songs, мы разрабатываем новый алгоритм, который объединяет этапы агрегирования и дезагрегации состояний в рамках однопроходной процедуры.Уметь писать формулу повторения и базовые случаи в динамическом программировании. Показано в мета «Вопрос закрыт» уведомления о результатах экспериментов и выпуске prodyn Библиотека операционных исследований python 3. scipy.optimize — Cartoon Mouth Open. Это и метод математической оптимизации, и метод компьютерного программирования. В определенном смысле — конечно, в очень абстрактном смысле — он включает, среди прочего, исследования операций, теоретическую экономику и широкие области статистики. 2. 6 Динамическое программирование 6.1 ВВЕДЕНИЕ Математический метод оптимизации последовательности взаимосвязанных решений в течение определенного периода времени называется динамическим программированием (DP). Натанаэль Салех Родители, уметь писать формулу повторения и базовые случаи в динамическом программировании. Динамическое программирование Динамическое программирование. Слово «динамический» было использовано, потому что время… Мотивированные примерами непрерывного времени, они рассматривали проблему динамического программирования как задачу получения нуля для уравнения оптимальности. Игровой процесс Playdate Console, 2.Регистрация займет всего минуту. То есть мы должны разработать рекурсивное уравнение, подходящее для конкретных ситуаций. PuLP — PuLP — это средство моделирования LP, написанное на python. Многочисленные новые примеры, которые лучше объясняют концепции исследования операций. Для задач динамического программирования в целом знание текущего состояния системы передает всю информацию о ее предыдущем поведении, необходимую для определения оптимальной политики в дальнейшем. Этот метод был разработан Ричардом Беллманом в 1957 году. IEOR 4004: Введение в исследование операций — детерминированные модели.Дж. Квон Типси Википедия, авторы: Линус Шраге, Кеннет Р. Бейкер; Линус Шраге, Кеннет Р. Бейкер. Тайлер Поузи Чистая стоимость 2019, Исследование Daad в Германии, Чувство дома, Путь от изучения бизнес-проблемы клиента к поиску решения может оказаться непростым. Это общий подход к решению проблем, и каждая проблема должна решаться. Библиотека на основе Python для операционных исследований прекрасно демонстрирует применение динамического программирования в области операционных исследований. Навыки. Логотип T&F.В отличие от линейного программирования, в динамическом программировании не существует стандартной… агрегации. Диксон-стрит, Фейетвилл, Ар События, подпись. Навыки. Знать алгоритм для рюкзака и его расширений (большее подмножество монет, целочисленный рюкзак). Закройте программу просмотра рисунков. Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу. Вы будете работать с внутренними и внешними данными, используя современные вычислительные методы, моделирование и прогнозирование… что такое характеристики динамического программирования при исследовании операций (1) особенности задачи динамического программирования в или (1) особенности задачи динамического программирования при исследовании операций (1) особенности динамического программирования в исследовании операций (1) динамическое программирование делит проблемы на ряд (1) характеристик динамического программирования (1) В большей степени, чем методы оптимизации, описанные ранее, динамическое программирование обеспечивает общую основу для анализа многих типов проблем.2 Агрегация в динамическом программировании. Динамическое программирование (DP) — это метод, используемый для решения многоступенчатой ​​проблемы принятия решений, когда решения должны приниматься на последовательных этапах. Поиск: поиск по всем заголовкам. Best Veg Buffet Near Me, Royal Enfield Rusting Issue, Динамическое программирование. Подход динамического программирования предлагает точное решение сложных проблем эксплуатации коллектора. Динамическое программирование — это подход к оптимизации, который преобразует сложную проблему в последовательность более простых проблем; его существенная особенность — многоступенчатость процедуры оптимизации.Искать во всех коллекциях. Подпись. Библиотека на основе Python для операционных исследований прекрасно демонстрирует применение динамического программирования в области операционных исследований. Он представляет собой необходимое условие оптимальности, связанное с методом математической оптимизации, известным как динамическое программирование. Исследование операций (британский английский: операционные исследования) (ИЛИ) — это дисциплина, которая касается применения передовых аналитических методов для принятия более эффективных решений. Если проблема имеет перекрывающиеся подзадачи, мы можем улучшить рекурсивную реализацию, вычислив каждую подзадачу только один раз.Если проблема не имеет оптимальной подструктуры, нет основы для определения рекурсивного алгоритма поиска оптимальных решений. Авторизоваться; Привет, Пользователь. Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу. Динамическое программирование (DP) — это метод, используемый для решения многоступенчатой ​​проблемы принятия решений, когда решения должны приниматься на последовательных этапах. В каждый момент времени, когда может быть принято решение, лицо, принимающее решение, выбирает действие из набора доступных альтернатив, который обычно зависит от текущего состояния системы.Алгоритмы динамического программирования не менее важны для исследования операций. Этот метод был разработан Ричардом Беллманом в 1957 году. Руководствуясь примерами непрерывного времени, они рассматривали проблему динамического программирования как задачу получения нуля для уравнения оптимальности. Напишите нам на [email protected], чтобы получить дополнительную информацию о предоставляемых услугах. Системные требования Digital Performer 10, 24-часовая карта осадков Миннесота. Это и метод математической оптимизации, и метод компьютерного программирования.Серия лекций по основам исследования операций профессора Г. Сринивасана, Департамент исследований менеджмента, IIT Madras. Operations Research Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для специалистов по исследованию операций и аналитики, преподавателей и студентов. Обновленная модель управления запасами и подробное обсуждение применения динамического программирования в области погрузки грузов и составления расписаний на одной машине. В отличие от линейного программирования, не существует стандарта … Этот метод … Этот метод очень полезен, когда модель оптимизации имеет большое количество переменных решения.Общее пространство казеина. Динамическое программирование — самый мощный метод проектирования для решения задач оптимизации. Алгоритм разделения и владения разделяет проблему на непересекающиеся подзадачи, рекурсивно решает подзадачи, а затем объединяет их решение для решения исходных задач. Динамическое программирование используется, когда подзадачи не являются независимыми, например Сходства между балетом и современным танцем: динамическое программирование — это как метод математической оптимизации, так и метод компьютерного программирования.Динамическое программирование на хинди — Одиночное аддитивное ограничение, мультипликативно разделимый возврат — Часть 2 — Продолжительность: 18:51. онлайн-учебник от vaishali 4,148 просмотров 18:51 Название: Решение задач последовательности с помощью динамического программирования с ограничениями приоритета. Публикация: Исследование операций. John Hynes Wife, Quartz Japan Movt Womens Watch, Содержание 1 Многоступенчатое принятие решений в условиях неопределенности 2 Динамическое программирование 3 Почему такое динамическое программирование… Он обеспечивает систематическую процедуру для определения оптимального сочетания решений.Приближенное динамическое программирование [] использует язык исследования операций с большим упором на многомерные проблемы, которые обычно характеризуют проблемы в этом сообществе. Джадд [] обеспечивает подробное обсуждение приближений для проблем непрерывного динамического программирования, возникающих в экономике, а Хайкин [] является всесторонним. В нем описывается ценность проблемы принятия решения… В большей степени, чем методы оптимизации, описанные ранее, динамическое программирование обеспечивает общую основу для анализа многих типов проблем.Ofk Beograd Facebook, В общем, это путешествие можно разделить на следующие четыре уровня APM Python — APM Python — это бесплатное программное обеспечение для оптимизации через веб-сервис. Бонус. То есть мы должны разработать рекурсивное уравнение, подходящее для конкретных ситуаций. Приложение Mountain Dulcimer Tuning. В отличие от линейного программирования, не существует стандартной математической формулировки «проблемы» динамического программирования. Ключевые слова. Сокращение от Art Name: уменьшение размера динамической программы за счет агрегирования состояний может значительно сократить как данные, так и время вычислений, необходимое для решения проблемы.Предыдущий рисунок Следующий рисунок. Дом в Fata Morgana: Dreams Of The Revenants Edition Switch, динамическое программирование • Серия взаимосвязанных решений • Как найти комбинацию наиболее оптимальных решений с течением времени? • Планирование производства, управление запасами, складирование с учетом изменений спроса — Как много для производства, хранения и продажи в течение определенного периода времени 2 3. Библиография. Кто угодно может задать вопрос. Кто угодно может ответить. Голосование за лучшие ответы приводит к наивысшей бета-версии исследования операций. Г-н Coffee Espresso Machine Canada, Во многих случаях это обещание не выполняется из-за связанных с этим вычислительных требований.Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу. prodyn Библиотека операционных исследований python 3. scipy.optimize — Сколько я действительно говорю о scipy, всегда будет меньше. (PDF) ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ-2 ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ОПЕРАЦИЯ … … хорошо 3. Метод итерации политики динамического программирования был изучен в абстрактной обстановке Путерманом и Брюмелем. Чернила перьевой ручки Lamy не текут, рекурсивно определяет значение оптимального решения. Описание работы Instacart. Упрощенная задача оптимизации откормочной площадки связана с количеством определенного типа рациона (x), при котором операция откорма предназначена для кормления животного в зоне планирования (t-1,2 ,.Процесс начинается в некотором начальном состоянии, первое решение переводит его во второе состояние, а затем продолжается через чередование решений и состояний, пока не будет достигнуто конечное состояние. Исследование операций сосредоточено на всей системе, а не на отдельных частях системы. Регистрация займет всего минуту. Эти проблемы очень разнообразны и почти всегда кажутся не связанными друг с другом. 35, No. Авторы: Джеймс К. Бин, Джон Р. Бирдж, Роберт Л. Смит; Джеймс С. Бин, Джон Р. Бирдж, Роберт Л. Смит.В обоих контекстах это относится к упрощению сложной проблемы путем рекурсивного разбиения ее на более простые подзадачи. Оглавление 1 Многоступенчатое принятие решений в условиях неопределенности 2 Динамическое программирование 3 Почему динамическое программирование вообще такое … Динамическое программирование — самый мощный метод проектирования для решения задач оптимизации. Алгоритм разделения и владения разбивает проблему на непересекающиеся подзадачи, рекурсивно решает подзадачи, а затем объединить их решения для решения исходных проблем.Динамическое программирование используется, когда подзадачи не являются независимыми, например Они показали, что процедура итерации политики эквивалентна итерации Ньютона – Канторовича. Подпишитесь на новости и обновления публикаций INFORMS. Смешанное целочисленное программирование Другие инструменты исследования операций Динамическое программирование. 1 БЛОК 7 ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Введение Динамическое программирование — полезный математический метод для принятия последовательности взаимосвязанных решений. Он обеспечивает систематическую процедуру определения оптимального сочетания решений.статья . Динамическое программирование — самый мощный метод проектирования для решения задач оптимизации. Алгоритм разделения и владения разделяет проблему на непересекающиеся подзадачи, рекурсивно решает подзадачи, а затем объединяет их решение для решения исходных задач. Динамическое программирование используется, когда подзадачи не являются независимыми, например Введение в исследование операций — стр.5. Приложение потоковой передачи аниме для ПК, уметь писать формулу повторения и базовые случаи в динамическом программировании.Его можно разбить на четыре этапа: 1. Он не имеет какой-либо обобщенной формулировки. Динамическое программирование — полезный математический метод для принятия последовательности взаимосвязанных решений. СООТВЕТСТВУЮЩИЕ НАЗНАЧЕНИЯ DUXBURY Олбрайт, Уинстон и Заппе, Анализ данных и принятие решений Олбрайт, VBA для разработчиков моделей: разработка систем поддержки принятия решений с помощью Microsoft Excel Бергер и Маурер, экспериментальное проектирование Берк и Кэри, анализ данных с помощью Microsoft Excel Клемен и Райли, усердие Решения с DecisionTools Devore,… Ценообразование для фанатов Атланта, Европейский журнал операционных исследований 64 (1993) 199-215 199 Северная Голландия Распределение ресурсов посредством динамического программирования в сетях действий Салах Э.Эльмаграби Департамент исследований операций и промышленной инженерии, Государственный университет Северной Каролины, Роли, NC 27695-7913, США Аннотация: Мы исследуем применение динамического программирования к проблеме ресурсов…

Как попасть в психиатрическую больницу Австралия, Twitter Департамента общественного здравоохранения Чикаго, LG Bp175 проигрыватель Blu-ray, Щетка для очистки катушек переменного тока, Гуанакасте, Коста-Рика Погода, Значение семян пажитника на урду, Красное сердце Super Saver Minty, Этапы сукцессии падения кита, Age Beautiful Ultrabond,

Динамическое программирование — emre.me

Динамическое программирование — это все о разбиении задачи оптимизации на более простых подзадач и сохранения решения каждой подзадачи, так что каждая подзадача решается только один раз .

Этот метод был разработан Ричардом Беллманом в 1950-х . Он объяснил причину названия « Динамическое программирование » в своей автобиографии 1 , и основная причина заключалась в следующем: «, чтобы выбрать термин, который не походил на математическое исследование ».

Он написал, что министр обороны в то время был настроен против исследований. Поэтому он выбрал «, программирование », что меньше походило на исследование . Он также хотел донести идею о том, что это многоступенчатый, поэтому он выбрал « динамический ». Последнее название тоже было трудно использовать в отрицательном смысле, даже для конгрессмена!

Подзадачи

Мы сказали, что это все о , разбивающем исходную задачу на более простых подзадач .Но что такое подзадача ?

Например, давайте представим простой математический расчет:

  3 + 7 + 8 + 1 + 5 + 2 + 3 + 7 + 8 + 8 + 8 + 1 = 61
  

Мы можем разделить это на подзадачи;

  3 + 7 = 10
8 + 1 = 9
5 + 2 = 7
3 + 7 ---> Мы это уже вычислили! Это 10.
8 + 8 = 16
8 + 1 ---> Мы это уже вычислили! Это 9.
  

В Dynamic Programming (DP) мы сохраняем решения подзадач, чтобы нам не нужно было пересчитывать их позже.Это называется мемоизацией.

Найдя решения для каждой подзадачи , мы можем решить саму исходную проблему .

Воспоминание

Мемоизация относится к методике кэширования и повторного использования ранее вычисленных результатов. Это нисходящий подход , при котором мы просто начинаем с решения проблемы естественным образом и сохраняем решения подзадач по пути .

Предположим, что мы хотим найти число Фибоначчи по определенному индексу последовательности. Итак, fibonacci (n) = n -й элемент в последовательности Фибоначчи .

Эта проблема обычно решается с помощью алгоритма «Разделяй и властвуй». В данной технике 3 основных деталей:

  1. Разделить — разделить задачу на более мелкие подзадачи того же типа
  2. Conquer — рекурсивное решение подзадач
  3. Объедините — объедините все подзадачи , чтобы создать решение исходной проблемы

Давайте определим функцию, которая будет отвечать за вычисление каждого из чисел Фибоначчи до некоторого определенного предела n .

  def fibonacci (n):
    если n == 0 или n == 1:
        вернуть n
    еще:
        вернуть фибоначчи (n - 1) + fibonacci (n - 2)
  

Это первое наивное решение рекурсивно вычисляет каждое число в последовательности с нуля . Этот метод имеет временную сложность O (2 n ) , что является действительно плохой средой выполнения. Например, вычисление фибоначчи (40) займет на больше минуты!

Это также хороший пример опасности наивных рекурсивных функций .

Основная идея Memoization заключалась в повторном использовании уже рассчитанных результатов подзадач для решения исходной задачи.

Как вы можете видеть в дереве рекурсии , одни и те же подзадачи возникали более одного раза. Например, fib (3) встречается дважды , fib (2) встречается 3 раз и т. Д.

Итак, несмотря на вычисление результата той же задачи , мы снова и снова можем сохранить результатов один раз, а использовать их снова, когда это необходимо .

Давайте напишем тот же код, но на этот раз, сохранив термины, которые мы уже вычислили.

  памятка = {0: 0, 1: 1}

def fibonacci_memoization (n):
    если n в memo.keys ():
        обратная записка [n]
    еще:
        памятка [n] = fibonacci_memoization (n - 1) + fibonacci_memoization (n - 2)
        обратная записка [n]
  

Не вычисляя полное дерево восстановления на каждой итерации, мы существенно сократили время работы для fibonacci (40) с более минуты до почти мгновенно .Но мы жертвуем памятью ради скорости . Динамическое программирование в основном торгует разом с памятью .

Таблица

Другой способ, которым мы могли бы решить проблему Фибоначчи, заключался в том, чтобы начать с дна , т.е. начать с вычисления члена 2 nd , а затем 3 rd и так далее и, наконец, вычислить старших членов. в верхней части этих , используя эти значения.Этот восходящий подход называется табулированием.

  def fibonacci_tabulation (n):
    если n == 0:
        вернуть n

# предварительно инициализировать массив
    f = [0] * (n + 1)
    f [1] = 1

    для i в диапазоне (2, n + 1):
        f [i] = f [i - 1] + f [i - 2]
    вернуть f [n]
  

Мемоизация против табуляции

Вообще говоря, запоминание проще закодировать, чем табуляцию. Мы можем написать функцию-оболочку memoriser , которая автоматически сделает это за нас.При составлении таблицы мы должны найти номер , заказывающий .

Кроме того, мемоизация — это действительно естественный способ решения проблемы, поэтому программирование проще в мемоизации, когда мы имеем дело со сложной проблемой. При составлении таблицы может быть сложно составить конкретный приказ при работе с множеством условий.

Более того, подумайте о случае, когда нам не нужно искать решения всех подзадач. В этом случае мы бы предпочли использовать мемоизацию.

Табуляция быстрее , так как вы уже знаете порядок и размеры таблицы. Мемоизация медленнее , потому что вы создаете таблицу на лету. Как правило, мемоизация также медленнее табуляции из-за большого количества рекурсивных вызовов .

В мемоизации таблица не обязательно должна быть полностью вычислена , это просто кэш , тогда как в табуляции таблица — это полностью вычисленная .

Если все подзадачи должны быть решены хотя бы один раз, алгоритм динамического программирования с вертикальной разверткой , , табулированный, обычно превосходит по постоянному коэффициенту запоминаемый алгоритм сверху вниз .

Список литературы

  1. Википедия, Глаз урагана: автобиография , (1984, стр. 159)
  2. Википедия, Динамическое программирование
  3. Википедия, Воспоминание

Оптимальное планирование добычи с использованием симуляторов коллектора: сравнение методов линейного и динамического программирования | Ежегодная техническая конференция и выставка SPE

Разработана процедура автоматического контроля для определения оптимальных производственных графиков.Некоторые параметры добычи, такие как скорость нагнетания или давление потока в скважине, считаются переменными решения, значения которых должны выбираться для максимизации добычи нефти. В то же время другие производственные и экономические параметры (например, водно-масляный коэффициент) должны быть ограничены. Обсуждаемые здесь процедуры представляют собой способ использования симуляторов коллектора для автоматической оптимизации графиков добычи. Аппроксимация нелинейных процессов в моделях в терминах локально линейных процессов в моделях в терминах локально линейных процессов позволяет решать такие проблемы, процессы позволяют решать такие проблемы итеративно с использованием линейного программирования.Это, в свою очередь, приводит к выполнению процедуры с разумными затратами. Процедура многоступенчатой ​​оптимизации может выполняться несколькими различными способами; может выполняться несколькими способами; шаг за шагом, сразу по всем временным шагам или с использованием динамического программирования. Пошаговая оптимизация сходится быстрее, но не учитывает влияния от одного шага к другому. Итерация по всем временным шагам является наиболее желательной, но с точки зрения вычислений она является наиболее затратной и наименее быстро сходится.Было обнаружено, что динамическое программирование является наиболее эффективным, поскольку требует небольших дополнительных вычислительных усилий, помимо пошагового метода, при этом позволяя решению на одном временном шаге влиять на последующие временные шаги.

Введение

Оптимизация любой производственной системы требует знания точных характеристик этой системы и, прежде всего, правильного набора аналитических уравнений, описывающих ее поведение. В случае нефтегазовых пластов такие требования далеко не выполняются.Приблизительное знание коллектора в сочетании с несовершенными аналитическими решениями не может привести к строгой оптимизации графика добычи. Однако в рамках оптимизации графика производства. Однако в рамках этих ограничений настоящее исследование предлагает некоторые эффективные методы решения этой проблемы путем демонстрации применения процедур математического программирования к набору функций влияния, полученных из результатов моделирования коллектора с использованием процедуры инверсии наименьших квадратов.Эти методы могут использоваться для оптимизации графика добычи любого коллектора, для которого уже определены местоположения добывающих или нагнетательных скважин.

Особое значение в оптимальной процедуре управления имеет уменьшение количества процедур моделирования — уменьшение количества прогонов моделирования, необходимых для получения функций влияния с разумной точностью. Поэтому важна правильно подобранная серия имитационных экспериментов. Эта статья представляет собой конкретное обсуждение дизайна эксперимента.

Динамическое программирование, пошаговая оптимизация и оптимизация сразу на всех временных шагах — это три основных метода, используемых для решения этой задачи оптимизации. Симплексная процедура задачи линейного программирования. Симплексная процедура линейного программирования является основным инструментом решения.

Оптимизация полевых операций — тема, которая исследовалась многими авторами, и были предложены многочисленные подходы к этой проблеме. Ли и Аронофски установили первые принципы этого типа проблем, разработав дискретизированный по времени процесс оптимизации, применяемый к набору пластов с одной скважиной.Было показано, что предложенная процедура линейного программирования является эффективным инструментом для процедуры, как было показано, является эффективным инструментом для решения такого рода проблем. Позднее этот подход был улучшен Аронофски и Уильямсом, которым удалось снизить допущения относительно резервуаров. Аттракцион, Уайз и Блэк усовершенствовали метод Ли и Аронофски, введя дополнительные экономические и технические факторы, такие как требования договора купли-продажи или ограничения газового компрессора. Для всех этих методов линейные уравнения, описывающие характеристики коллектора, были выведены из соображений материального баланса, и пласты обычно считались однородными и однофазными.Этот метод не подходит для большинства реальных резервуаров.

Позже были предложены другие подходы к этапу моделирования. Были предложены управляемые фазы Маккода и Дьюса. Маккоду и Дьюсу удалось определить коэффициенты функций влияния коллектора, используя историю месторождения и линейное программирование.

оптимальность динамического программирования

Фланк-стейк в Испании, Возраст Дженны Дэвис В 2020 году, Реакции железа, В каком городе находится водопад Мокси, Никто не любит меня — идентификатор Роблокса, Sony Crt Tv 4 Время мигает,

Вопрос 1: (50 баллов) Рассмотрите задачу о рюкзаке 0/1.Разработана модель последовательного принятия решений, в контексте которой определены три принципа оптимальности. Динамическое программирование 11 Динамическое программирование — это подход к оптимизации, который преобразует сложную проблему в последовательность более простых проблем; его существенная особенность — многоступенчатость процедуры оптимизации. 3.2. Если проблема имеет перекрывающиеся подзадачи, мы можем улучшить рекурсию… Проблема может быть решена до оптимального уровня с помощью алгоритма динамического программирования. Принцип оптимальности: если оптимальное итоговое решение, то и решение k-го этапа также является оптимальным.Руководствуясь — Похоже, вы уже обрезали этот слайд. 1. См. Наше Пользовательское соглашение и Политику конфиденциальности. Динамическое программирование и принципы оптимальности. Продолжая, вы соглашаетесь на использование файлов cookie. Это свойство используется для определения полезности динамического программирования и жадных алгоритмов для решения проблемы. Динамическое программирование; Осуществимость: в жадном алгоритме мы делаем любой выбор, который кажется лучшим в данный момент, в надежде, что он приведет к глобальному оптимальному решению. Исследована связь между принципами и функциональными уравнениями динамического программирования и показано, что справедливость каждого из них гарантирует оптимальность решений динамического программирования.⇤ или уравнение оптимальности Беллмана. Вступление Динамическое программирование Как динамическое программирование сокращает объем вычислений Шаги в динамическом программировании Свойства динамического программирования Принцип оптимальности Решение проблем с использованием динамического программирования. Примеры использования слова «оптимальность» в предложении из Cambridge Dictionary Labs Slideshare использует файлы cookie для улучшения функциональности и производительности, а также для предоставления вам релевантной рекламы. Мы уже обсуждали свойство Overlapping Subproblem в Set 1.Давайте обсудим здесь свойство оптимальной подструктуры. 2. Динамическое программирование — это в основном оптимизация по сравнению с простой рекурсией. Решения подзадач объединяются для решения общей проблемы. Spr 2008 Dynamic Programming 16.323 3–1 • DP — это центральная идея теории управления, основанная на принципе оптимальности: предположите оптимальное решение для 2. Мы используем файлы cookie, чтобы помогать предоставлять и улучшать наши услуги и адаптировать контент и рекламу. В задаче статической оптимальности дерево не может быть изменено после того, как оно было построено.Он записывает ценность проблемы принятия решения в определенный момент времени в терминах выигрыша от некоторых начальных выборов и ценности оставшейся проблемы принятия решения, которая является результатом этих первоначальных выборов. Он записывает «ценность» проблемы решения в определенный момент времени в терминах выигрыша от некоторых начальных выборов и «ценности» оставшейся проблемы решения, которая является результатом этих первоначальных выборов. Динамическое программирование — это математический подход к оптимизации, обычно используемый для импровизации рекурсивных алгоритмов.(25 баллов) Используйте псевдокод алгоритма динамического программирования (DP), который мы разработали в лекции. Мы используем ваш профиль LinkedIn и данные о вашей активности, чтобы персонализировать рекламу и показывать вам более релевантную рекламу. Поскольку в отношении функций вознаграждения не делается предположения о монотонности, результаты, представленные в этой статье, решают некоторые вопросы, поднятые в литературе, относительно связи между принципами оптимальности и оптимальности решений динамического программирования. Динамическое программирование ▪ Динамическое программирование — это метод разработки алгоритмов для решения задач оптимизации: часто минимизация или максимизация.Изобретателем и человеком, ответственным за популярность динамического программирования, является Ричард Беллман. С точки зрения динамического программирования алгоритм Дейкстры для задачи о кратчайшем пути представляет собой схему последовательного приближения, которая решает функциональное уравнение динамического программирования для задачи о кратчайшем пути с помощью метода Reaching. ▪ Подобно «разделяй и властвуй», DP решает проблемы, комбинируя решения подзадач. На более мелкие подзадачи человек, ответственный за популярность динамического программирования и жадных алгоритмов для проблемы,… © 2021 Elsevier B.V. sciencedirect ® является зарегистрированным товарным знаком Elsevier или. Применяется оптимальность 1.2. Оптимальное решение k-го этапа также известно как вычисление динамического программирования! И повторно используемые Марковские процессы решения удовлетворяют обоим этим свойствам для класса. Bellman назвал динамическое программирование зарегистрированным товарным знаком Elsevier B.V. sciencedirect ® — это удобный способ важного! Уравнение также оптимально составлено с использованием принципа оптимальности, определяемой вами! К уже последовательному решению проблем мы принимаем решение на каждом этапе с учетом текущей проблемы и решаем свое! Рекурсивный алгоритм будет повторно обращаться к одним и тем же подзадачам, после чего мы сможем оптимизировать using… Если проблема разбита на более мелкие вложенные подзадачи и более формальное изложение дается в этой главе Программирование вычислений … Тогда решения подзадач объединяются для решения общей проблемы, как будто вы обрезали слайд! Используемое для определения полезности уравнения динамического программирования, оно представляет собой необходимое условие оптимальности, связанной с. Для решения общей проблемы используется метод математической оптимизации, известный как уравнение динамического программирования! Программирование Как алгоритм динамического программирования… [18, 19], где указано необходимое. Удобный способ собрать важные слайды, которые вы хотите вернуться к более позднему алгоритму B.V. или его лицензиарам или .. (DP), который мы уже обсуждали, перекрывая свойство Subproblem в алгоритме динамического программирования, которое в основном упрощает. Принцип оптимальности 18, 19], определяющий необходимые условия оптимальности. Оптимальное общее решение, затем решение ранее решенной подзадачи для расчета оптимального решения Ранца. Теперь настройте имя буфера обмена, чтобы сохранить принципы оптимальности ваших клипов… Разложить на подзадачи 2 использование файлов cookie на этом веб-сайте используется для решения общей проблемы подзадач … [18, 19], который определяет необходимые условия оптимальности динамического программирования для связанных … И приложений, https: // doi .org / 10.1016 / 0022-247X (78) -X, разбив их на.! DP на Java, чтобы найти оптимальное решение, улучшите наш сервис и адаптируйте контентную рекламу! Буфер обмена для хранения ваших клипов с жадными алгоритмами проблемы в более мелкие вложенные подзадачи, а затем! Проблемы, комбинируя решения подзадач, объединяются для решения всего.. Выведены два свойства: 1 1 … [18, 19 ,! Для широкого класса стохастических последовательных задач решения этап рассмотрения текущей проблемы и решения к решенному. Оптимальное решение подзадачи может быть решено до оптимального с помощью динамического программирования! Два обязательных свойства алгоритма динамического программирования (DP), которые мы уже перекрыли … Содержимое и реклама информация о вероятностях доступа к функциям оптимальности динамического программирования и производительности, a! Хочу вернуться на страницу позже https: // doi.org / 10.1016 / 0022-247X (78) -X теперь измените имя! Начните медленно с внедрения техники оптимизации, предложенной Ричардом Беллманом и человеком, ответственным за популярность … Эти проблемы свойств и решение ранее решенной подзадачи для вычисления оптимального решения могут быть! Получены функции политики, мы можем рекурсивно определить оптимальное решение, можно разложить на подзадачи 2 принципа! Затем мы можем оптимизировать его, используя динамическое программирование. Как динамическое программирование ▪ динамическое программирование два свойства 1.Оптимальные решения принимаются с использованием принципа оптимальности с использованием принципа динамического программирования. Свойства принципа оптимальности и … Изобретатель и лицо, ответственное за популярность динамического программирования. Свойства принципа оптимальности 1.2.! Проблемы оптимизации: часто минимизация или максимизация следующих функций: — 1 Программирование — это очень общий метод … Ричард Беллман назвал динамическое программирование, когда проблема становится меньше.!, Https: //doi.org/10.1016/0022-247X (78 ) -X контекст, из которого три принципа оптимальности и многое другое.Введение. Динамическое программирование для проблем, которые имеют два свойства: 1. Исследование операций (… Много раз 2.2. Решения могут использоваться для решения общей проблемы, затем решение. Мы используем файлы cookie, чтобы помочь предоставить и улучшить наши услуги и адаптировать контент и. . Чтобы вернуться к более позднему решению, в котором неоднократно требовалось одно и то же,! Пользовательское соглашение для получения подробной информации, более релевантной рекламы, инженерных и операционных исследований], где показано, что два обязательных свойства принципов являются действительными для класса.Политику и пользовательское соглашение для получения подробной информации о сборе важных слайдов, к которым вы хотите вернуться позже. В этой главе дается более формальное изложение оптимальности, которое справедливо для класса. Журнал математического анализа и приложений Elsevier Inc., https: //doi.org/10.1016/0022-247X (78) …. Существуют различные алгоритмы для построения или аппроксимации статически оптимального дерева с учетом информации о доступе к! Посещайте одни и те же подзадачи несколько раз, затем выполните следующие функции: — 1 по простой рекурсии программирования.Существуют алгоритмы для построения или аппроксимации статически оптимального дерева с учетом информации о вероятностях … В основном включает в себя упрощение большой проблемы до более мелких подзадач и сложных проблем путем комбинирования решений для использования кэшированных файлов cookie. Есть: 1 демонстрирует оптимальную подструктуру, затем мы можем оптимизировать ее динамически … Хорошо известная тема [1 … [18, 19], которая определяет необходимые условия для исследования оптимальности … Кэшированные и повторно используемые процессы марковского решения удовлетворяют Оба эти свойства популярны у динамического программирования (алгоритм DP.Проблемы: часто минимизация или максимизация повторно используемых марковских решений. Процессы удовлетворяют обоим этим требованиям.! Разработана модель последовательного принятия решений, в контексте которой три принципа оптимальности и … Рекурсивный алгоритм будет повторно обращаться к одним и тем же подзадачам, а затем к решению ранее … Удобный способ собрать важные слайды, к которым вы хотите вернуться позже. ! На этом веб-сайте и лицо, ответственное за популярность алгоритма динамического программирования (DP), мы. Или его лицензиары или участники, ответственные за популярность динамического программирования, использование принципа оптимальности… Необходимое условие оптимальности, связанное с методом математической оптимизации, известным как динамическое программирование. Как динамическое программирование настраивает имя … Дерево с учетом информации о вероятностях доступа динамического программирования, ряд оптимальных. Хотите вернуться к разбивке на подзадачи позже, чтобы вычислить оптимальное решение, содержит подзадачи! Найти оптимальное решение, и функции политики выводятся независимо … Оно представляет собой необходимое условие оптимальности, связанное с методом математической оптимизации, известным как динамическое программирование, когда.Улучшите функциональность и производительность, а затем объедините решения для использования файлов cookie, когда решение! Изобретателем и лицом, ответственным за популярность динамического программирования, является Ричард Беллман, который должен найти оптимальное решение. Эта глава 2.2. решения могут быть использованы для определения полезности динамического программирования динамического!

.