Задачи динамического программирования онлайн: Как решить задачу динамического программирования

Содержание

динамическое программирование онлайн

Вы искали динамическое программирование онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и динамическое программирование онлайн калькулятор, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «динамическое программирование онлайн».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как динамическое программирование онлайн,динамическое программирование онлайн калькулятор,динамическое программирование примеры решения задач,калькулятор онлайн динамическое программирование,онлайн калькулятор динамическое программирование.

На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и динамическое программирование онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, динамическое программирование примеры решения задач).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же динамическое программирование онлайн Онлайн?

Решить задачу динамическое программирование онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Динамическое программирование — презентация онлайн

1. Динамическое программирование

Динамическое программирование (или динамическое
планирование) представляет собой особый
математический аппарат, позволяющий осуществлять
оптимальное планирование управляемых процессов.
Под «управляемыми» подразумеваются процессы, на
ход которых мы можем в той или другой степени влиять.
(Е.С. Вентцель)

2. История динамического программирования

Динамическое программирование возникло и
сформировалось в 1950–1953 гг. благодаря работам Ричарда
Беллмана и его сотрудников. Беллман (Bellman) Ричард Эрнест
(1920-84) – американский математик. Первыми задачами,
решаемыми с помощью динамического программирования
были задачи управления запасами.

3. Задача динамического программирования

Задачи динамического программирования
укладываются в следующую схему:
I. Имеется набор способов действий – допустимых
управлений.
II. Имеется целевая функция («прибыль», «убыток») S
= S(u), где u пробегает допустимые управления.
Требуется выбрать управление, которому отвечает
оптимальное значение целевой функции.

4. Формализация задачи динамического программирования

Динамическая система (ДС) – такой объект, который может
развиваться.
Квазидинамическая система – система, которую можно
привести к динамической.
Пространство состояний (фазовое пространство)
динамической системы – множество всех возможных
состояний динамической системы.
ДС с дискретным временем – ДС, состояние которой меняется
в дискретные моменты времени, например, t0, t1,t2,..,tn.
Траектория – набор состояний, через которые проходит ДС от
начального к конечному состоянию.
Управляемая ДС – ДС, траекторию которой можно менять с
помощью управляющих импульсов Uk.

5. Функционирование динамической модели

1. В начальный момент времени t0 система находится в
фиксированном состоянии 0.
2. Переход k-1 k от состояния в момент tk-1 к состоянию в
момент tk (от t0 к t1 от t1 к t2 и т. д.) осуществляется под
воздействие управляющих сигналов uk , т.е. k = ( k-1 , uk).
Набор состояний 0, 1 ,…, n – траектория ДС. Причем, начало
всех траекторий одинаковое — 0.

6. Общая задача динамического программирования

Пусть имеется управляемая динамическая система
оценивается каким-либо показателем, например, суммарным
доходом S=S(u1,u2,..,un). Суммарный доход равен сумме
доходов на каждом шаге
S=f1+f2+…+fn. (1)
fk – доход на k-ом шаге, который зависит от состояния ДС в
начале k-го шага и выбранного управления uk:
fk = fk( k-1 , uk) (2)
Подставляя (1) в (2) получим:
Такая функция называется аддитивной целевой функцией.

7. Общая задача динамического программирования

Для анализа имеется управляемая динамическая система, для
которой выделено n шагов, а на каждом шаге выделены все
возможные состояния ( k), через которые проходит система, а
также выделено начальное состояние 0, а на каждом шаге
заданы возможные управляющие воздействия (uk). Также
имеется аддитивная функция.
Задача ДП состоит в том, чтобы найти такую
последовательность управляющих воздействий во время
функционирования ДС (u1,u2,…,un), чтобы аддитивная функция
S достигала максимума или минимума. Траектория, на
которой достигается max или min целевой функции,
называется оптимальной траекторией. Задачей ДП является
отыскание оптимальной траектории.

8. Метод решения задачи динамического программирования

9. Метод решения задачи динамического программирования

10. Метод решения задачи динамического программирования

Предположим, что к на- чалу k-го шага система оказалась в
состоянии k-1. Оставшийся путь до конца система может
проходить по различным траекториям в зависимости от выбора
последующих управлений. Каждой траектории отвечает свой
суммарный доход, т.е. доход на участке Обозначим этот доход
через Sk.
Sk=fk+fk+1+…+fn
S*k( k-1) – условный максимальный доход – максимальный
суммарный доход, начиная с k-го шага и до конца, т. е. на участке
[k-1,n]. Тогда основную задачу ДП можно формализовать в виде:
И требуется найти условное оптимальное управление на k-м шаге
u*k( k-1).

11. Метод решения задачи динамического программирования

Задачи ДП решаются в два этапа:
1. движение от конца к началу
Начиная с кон- ца последовательно находим:
для всех возможных на соответствующих шагах состояний с
использованием на каждом шаге, начиная с n-1-го, формулы для

12. Метод решения задачи динамического программирования

Задачи ДП решаются в два этапа:
1. движение от конца к началу
Начиная с кон- ца последовательно находим:
для всех возможных на соответствующих шагах состояний с
использованием на каждом шаге, начиная с n-1-го, формулы для
2 движение от начала к концу
Двигаясь от начала, существенно используя закрепленность
начального состояния, строим безусловную оптимальную
траекторию.

13. Задача об оптимальном маршруте

14. Задача об оптимальном маршруте

Требуется найти оптимальный маршрут на плоскости,
проходящий через некоторые точки.
ДС представляет собой граф, где каждая вершина имеем
четырех соседей. В нашем случае потребуется 6 шагов.
Состояние – узел графа. A – начальное состояние B – конечное
состояние.
Под управлением будем понимать выбор направления
движения: по горизонтали или вертикали.
Аддитивная целевая функция – величина потерь, приписанная к
каждой дуге графа.
Целевая функция – суммарные потери на всех 6 шагах.
Решение:
Помечаем узлы графа последовательно от конца к началу
минимальным весом, затем от начала к концу выбираем
маршрут, с наименьшим весом для каждого шага.

15. Задача об оптимальной последовательности погрузки и разгрузки

Пусть на оптовую базу прибыло n машин с товаром для
разгрузки и m машин для загрузки товаров,
направляемых в магазины. Материально ответственное
лицо оптовой базы осуществляет оформление
документов по операциям разгрузки или загрузки одной
машины, а затем переходит к обслуживанию другой
машины. Издержки от операций обусловлены простоем
транспорта, типом операции (прием или отгрузка
товара). Необходимо спланировать последовательность
операций обоих видов таким образом, чтобы
суммарные издержки по приему и отправке товаров для
всех машин были минимальными.

16. Задача об оптимальной последовательности погрузки и разгрузки

Если по оси X отложить число n разгруженных машин, а по
оси Y число m загруженных товаром машин, то можно
построить на плоскости граф состояний процесса, в котором
каждая вершина характеризует состояние операции приема
и отгрузки то- вара на оптовой базе. Ребра означают
выполнение работы по приему или отправке товара на
очередной машине. Каждому ребру можно сопоставить
издержки, связанные с выполнением операции по разгрузке
или загрузке машины.
Таким образом, задачи сводится к ранее рассмотренной
задаче выбора оптимального маршрута.

17. Задача об оптимальной последовательности погрузки и разгрузки

Пример. Пусть n=4, m=6 известны затраты по выполнению
каждой операции, которые показаны на ребрах графа (рис. 4).
Точка определяет начало процесса, точка конечное состояние,
соответствующее приему и отправке всех машин.

18. Задача о выборе оптимального пути на графе

Необходимо выбрать путь из пункта 1 в пункт 10.
Двигаться можно только слева направо

19. Задача о выборе оптимального пути на графе

20. Задача прокладки непрерывного оптимального пути

21. Задача прокладки непрерывного оптимального пути

22. Задача прокладки непрерывного оптимального пути

Зафиксируем на оси абсцисс несколько точек, в которых
вычислим аддитивную целевую функцию.

23. Задача прокладки непрерывного оптимального пути

24. Задача прокладки непрерывного оптимального пути в полярной системе координат

25. Задача прокладки непрерывного оптимального пути в полярной системе координат

26. Задача о выборе оптимального оптимальной стратегии замены оборудования

Определить оптимальные сроки замены оборудования в
течение n лет, при которых прибыль от эксплуатации
оборудования максимальна, если известны: p –
начальная стоимость оборудования; R(t) – стоимость
производимой продукции на оборудовании возраста t
лет; r(t) – ежегодные затраты на эксплуатацию
оборудования возраста t лет; (t) – ликвидная стоимость
оборудования возраста t лет. Предполагаются, что к
началу планового периода оборудование является
новым.

27. Задача о выборе оптимального оптимальной стратегии замены оборудования

В качестве управления будем использовать решение о
замене или незамене оборудования:

28. Геометрическая интерпретация задачи о выборе оптимальной стратегии замены оборудования

Возраст оборудования
Номер шага

29. Задача о выборе оптимального оптимальной стратегии замены оборудования

Замена оборудования p=40 у.е.

30. Задача о выборе оптимального оптимальной стратегии замены оборудования

Оптимальные стратегии:
u u u

Теория принятия решений принятие оптимальных решений методами динамического программирования

1. Теория принятия решений принятие оптимальных решений методами динамического программирования

ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
ПРИНЯТИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ
РЕШЕНИЙ МЕТОДАМИ
ДИНАМИЧЕСКОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Лекция 2.8

2. СОДЕРЖАНИЕ

Текущий контроль знаний
Часть 1. Общие принципы динамического
программирования.
Часть 2. Принятие решений на моделях,
сводимых к задачам дискретной оптимизации с
булевыми переменными.
Часть 3. Принятие решений на моделях,
сводимых к задачам дискретной оптимизации с
небулевыми переменными.
Часть 4. Принятие решений на моделях
оптимального упорядочения.

3. ТЕКУЩИЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ

На бихроматическом графе G(X,U), │Х│= 8,│Х₁│=│Х₂│=4, матрица которого приведена
ниже, определить оптимальное распределение работ при условии, что:
1. Минимизируется время выполнения плана, при условии, что фонд зарплаты равен:
S= 4 ∙max{│k-5│; │k-25│}.
2. Минимизируются затраты на выполнение плана при условии, что время его выполнения не
превышает величины Т= max{│k-15│;│k-35│}.
3. Минимизируются затраты на выполнение плана при условии, что время его выполнения не
ограничено.
1
2
3
4
1
│k-5│;│k-15│
│k-10│;│k-25│
│k-7│;│k-17│
│k-8│;│k-15│
2
│k-3│;│k-30│
│k-25│;│k-15│
│k-2│;│k-19│
│k-4│;│k-32│
3
│k-31│;│k-15│
│k-6│;│k-14│
│k-3│;│k-35│
│k-23│;│k-25│
4
│k-16│;│k-14│
│k-35│;│k-5│
│k-11│;│k-10│
│k-5│;│k-15│

4. ЧАСТЬ 1

Общие принципы
динамического
программирования

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Динамическое программирование
представляет собой многошаговый
процесс принятия решений,
направленных на достижение единой
цели. При этом на каждом шаге этого
процесса решается задача меньшей
размерности, чем исходная.

6. Принцип оптимальности Беллмана

Оптимальная стратегия обладает тем
свойством, что независимо от начального
состояния и начального решения задачи,
последующие решения должны составлять
оптимальную стратегию лишь в
рассматриваемый момент времени. Иными
словами оптимальная стратегия в каждый
момент времени определяется лишь
состоянием системы, но не ее предысторией.

7. Часть 2

Принятие решений на
моделях, сводимых к
задачам дискретной
оптимизации с
булевыми переменными

8. ПРИМЕР 1: Решение задач с булевыми переменными

Задача о ранце:
6 x1 3 x2 4 x3 2 x4 max;
4 x1 6 x2 5 x3 5 x4 10; 1
i : x 1,0.
i
0
1
6,6
S
Первое число –
значение целевой
функции, второе –
ресурс.
1
0
10,1
0
9,0
8,1
1
1
10,1
6,6
6,6
0
0
6,6
3,4
0,10
1
9,0
1
0
-∞
-∞
0
1
2,5
1
4,5
0,10
x1
x2
x3
0
0
0,10
x4
0,10

9. САМОСТОЯТЕЛЬНО

Пользуясь методом динамического
программирования, решить задачу о ранце:
4 x1 7 x2 9 x3 3 x4 max;
6 x1 5 x2 8 x3 7 x4 12;
i : x 1,0.
i

10. ЧАСТЬ 3

Принятие решений на
моделях, сводимых к
задачам дискретной
оптимизации с
небулевыми
переменными

11. ПРИМЕР 2: Решение задачи с небулевыми переменными

Решение задачи вида:
5 x1 2 x2 9 x3 7 x 4 max;
4 x1 2 x2 2 x3 4 x4 6;
i, x {0,1,2}.
i
Первые две итерации

12. ПРИМЕР 2 (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

Третья итерация:
5 x1 2 x2 9 x3 7 x 4 max;
4 x1 2 x2 2 x3 4 x4 6;
i, x {0,1,2}.
i

13. Пример 2 (завершение)

Четвертая итерация:
5 x1 2 x2 9 x3 7 x 4 max;
4 x1 2 x2 2 x3 4 x4 6;
i, x {0,1,2}.
i
22
X opt {0,1,2,0};
Fopt 20.

14. САМОСТОЯТЕЛЬНО:

Решить задачу с небулевыми и с
булевыми переменными вида:
7 x1 2 x2 4 x3 5 x 4 max;
4 x 2 x 2 x 4 x 8;
1
2
3
4
i 3, xi {0,1,2},
3 i 4 : xi {0,1}.

15. Часть 4

Принятие решений
на моделях
оптимального
упорядочения

16. ПРИМЕР 3: ЗАДАЧА КОММИВОЯЖЕРА

Решить, пользуясь методом динамического
программирования, разомкнутую задачу
коммивояжера, условия которой отвечают
графу G(X, U), изображенному на рисунке
ниже.
r (i, j ) z (i, j ) min;
i j
xs X : z (i, s ) 0; z ( s, j ) 1;
i
j
xt X : z (i, t ) 1; z (t , j ) 0;
i
j
x X \ ( x x ) : z (i, k ) z (k , j ) 1;
i
j
s
t
k
(i, j ) U : z (i, j ) 1,0.

17. ПРИМЕР 3. ХОД РЕШЕНИЯ

18. Самостоятельно вывести:

Формулы, определяющие:
1. Число вершин каждого слоя
построенной сети.
2. Число дуг, заходящих в каждую
вершину i-го слоя.
3. Число дуг, исходящих из каждой
вершины i-го слоя.

19. САМОСТОЯТЕЛЬНО:

Решить разомкнутую задачу коммивояжера
на графе G(X,U), изображенном ниже:
2
4
1
7
3
5
2
3
4

Python и динамическое программирование на примере задачи о рюкзаке

Момент настал – вы переезжаете в Сан-Франциско, чтобы стать известным дата сайентистом. Будете работать в крупной компании и скоро прославитесь. Но не всё сразу. Поначалу придётся ютиться в жилище, много меньшем, чем нынешний дом. Нужно решить, что взять с собой. Вы аналитик и намерены решить задачу эффективно. Обсудим алгоритм?

Представим, что на данный момент вы живёте в довольно большой квартире площадью 100 м2, а вещи занимают 50 м2. Вы знаете, что площадь нового жилья составит 40 м2 и хотите, чтобы вещи занимали не более 20 м2. Вы любите, когда на полу есть свободное место, да и не всё можно поставить впритык друг к другу. Нужно составить список вещей, определить площадь, занимаемую каждой вещью и составить рейтинг ценности предметов. Конечная цель – максимизировать материальную ценность того, что разместится на 20 квадратных метрах.

Перечисляем предметы

Вы составили список вещей и выразили занимаемую площадь в квадратных дециметрах (1 дм2 = 0.01 м2). Каждому предмету сопоставили ценность по шкале от 0 до 100. Получилась сводка данных о 29 предметах, которую можно оформить как словарь вида {'название предмета':(площадь, ценность) }:

        stuffdict = {'couch_s':(300,75), 
             'couch_b':(500,80), 
             'bed':(400,100), 
             'closet':(200,50), 
             'bed_s':(200,40), 
             'desk':(200,70), 
             'table':(300,80),
             'tv_table':(200,30),
             'armchair':(100,30),
             'bookshelf':(200,60), 
             'cabinet':(150,20),
             'game_table':(150,30),
             'hammock':(250,45),
             'diner_table_with_chairs':(250,70),
             'stools':(150,30),
             'mirror':(100,20),
             'instrument':(300,70),
             'plant_1':(25,10),
             'plant_2':(30,20),
             'plant_3':(45,25),
             'sideboard':(175,30),
             'chest_of_drawers':(25,40),
             'guest_bed':(250,40),
             'standing_lamp':(20,30), 
             'garbage_can':(30,35), 
             'bar_with_stools':(200,40), 
             'bike_stand':(100,80),
             'chest':(150,25),
             'heater':(100,25)
            }
    

Готово! Теперь видно, что кровать ('bed') занимает 400 дм2, а её ценность составляет 100, игровой стол ('game_table') занимает 150 дм2 квадратных метра и имеет ценность 30.

Максимазация ценности

Как максимизировать суммарную ценность объектов так, чтобы суммарная площадь не превышала 2000 дм2? Можно попробовать перебрать все возможные комбинации и рассчитать суммарную ценность для каждой из комбинаций. Решение получится, если выбрать максимальную суммарную ценность для 2000 дм2. Но вот незадача: и комбинаторика, и теория множеств утверждают, что 29 предметов дают 2²⁹ возможных комбинаций выбора предметов.

То есть более 536 миллионов. Похоже, такой перебор займёт некоторое время. Нельзя ли быстрее?

Стоит подумать о других вариантах. Что если начать с наиболее ценного предмета, затем следующего за ним по ценности, и так до тех пор, пока не заполнятся 20 квадратных метров? Такой алгоритм явно быстрее. Но даст ли он оптимальное решение? Есть сомнения. Как быстро решить задачу и найти лучшее решение?

Примечание: описанные выше случаи соответствуют полному перебору (метод «грубой силы», англ. brute force) и жадному (англ. greedy) алгоритму.

***

Соответствующий класс проблем называют задача о рюкзаке. Своё название проблема получила от конечной цели: уложить как можно большее число ценных вещей в рюкзак при условии, что вместимость рюкзака ограничена. В общем виде задачу можно сформулировать так: из заданного множества предметов со свойствами «стоимость» и «вес» требуется отобрать подмножество с максимальной полной стоимостью, соблюдая при этом ограничение на суммарный вес.

К счастью, знакомый слышал об этом классе задач и подсказал вам более разумный способ справиться с проблемой. Он объяснил, что можно рекурсивно разделить проблему на более мелкие подзадачи. Сохраняя результаты в ячейках таблицы мемоизации и используя их на следующих итерациях, вы быстро найдёте оптимальное решение. Вы как бы обменяете программную память на время. То есть воспользуетесь методом динамического программирования.

Этапы решения задачи с помощью динамического программирования

  1. Создаём словарь со списком элементов и их параметрами (площадь, ценность).
  2. Создаём списки значений площади и ценности.
  3. Используем списки для построения таблиц мемоизации.
  4. Получаем элементы из последней строки таблицы. Последняя строка таблицы мемоизации содержит оптимальное решение. Возможно, существует несколько оптимальных решений. Например, когда есть два предмета с одинаковой площадью и стоимостью или ряд предметов имеют суммарные площадь и ценность, как у другого предмета.

Рассмотрим, как реализовать этот план на практике. Первый шаг мы предусмотрительно выполнили ранее, перейдём ко второму.

Создаём списки значений площади и ценности

Разделяем списки значений исходного словаря, например, так:

        def get_area_and_value(stuffdict):
    area = [stuffdict[item][0] for item in stuffdict]
    value = [stuffdict[item][1] for item in stuffdict]        
    return area, value
    

Используем списки для мемоизации

Пусть n – общее число предметов, A – их максимально допустимая суммарная площадь в новом жилище (2000 дм2). Составим таблицу из n + 1 строк и A + 1 столбцов. Строки пронумеруем индексом i, столбцы – индексом a (чтобы помнить что в столбцах площадь, area). То есть в качестве номеров столбцов мы рассматриваем дискретные значения площади, отличающиеся друг от друга на 1.

        def get_memtable(stuffdict, A=2000):
      area, value = get_area_and_value(stuffdict)
      n = len(value) # находим размеры таблицы
      
      # создаём таблицу из нулевых значений
      V = [[0 for a in range(A+1)] for i in range(n+1)]

      for i in range(n+1):
            for a in range(A+1):
                  # базовый случай
                  if i == 0 or a == 0:
                        V[i][a] = 0

                  # если площадь предмета меньше площади столбца,
                  # максимизируем значение суммарной ценности
                  elif area[i-1] <= a:
                        V[i][a] = max(value[i-1] + V[i-1][a-area[i-1]], V[i-1][a])

                  # если площадь предмета больше площади столбца,
                  # забираем значение ячейки из предыдущей строки
                  else:
                        V[i][a] = V[i-1][a]       
      return V, area, value
    

Вначале создаётся и заполняется таблица в виде вложенных списков. Нулевую строку и нулевой столбец заполняем нулями. Это базовый случай: когда площадь или количество элементов равны нулю, значение ячейки равно нулю. Далее таблица значений V будет заполняться строка за строкой слева направо и сверху вниз:

Если площадь текущего элемента меньше или равна площади (номеру столбца) текущей ячейки, вычисляем значение ячейки следуя правилу:

        V[i][a] = max(value[i-1] + V[i-1][a-area[i-1], V[i-1][a])
    

То есть выбираем максимальное из двух значений:

  1. Сумма ценности текущего предмета value[i-1] и величины элемента из предыдущей строки i-1 с площадью, меньшей на величину площади текущего предмета area[i-1]. Обратите внимание: нужно помнить, что элементы в таблице отличаются по нумерации на единицу из-за нулевой строки.
  2. Значение элемента предыдущей строки с той же площадью, то есть из того же столбца, что текущая ячейка. То же значение устанавливается в случае, если площадь текущей ячейки меньше, чем площадь текущего элемента (см. блок else)

За счёт такого подхода при одной и той же суммарной площади элементов происходит максимизация суммарной ценности.

Забираем нужные элементы из последней строки таблицы

Найдём набор предметов с максимальной суммарной ценностью для указанной возможной площади. Начнём с нижнего правого угла таблицы с максимальным значением, и соберём предметы:

        def get_selected_items_list(stuffdict, A=2000):
      V, area, value = get_memtable(stuffdict)
      n = len(value)
      res = V[n][A]      # начинаем с последнего элемента таблицы
      a = A              # начальная площадь - максимальная
      items_list = []    # список площадей и ценностей
    
      for i in range(n, 0, -1):  # идём в обратном порядке
            if res <= 0:  # условие прерывания - собрали "рюкзак" 
                  break
            if res == V[i-1][a]:  # ничего не делаем, двигаемся дальше
                  continue
            else:
                  # "забираем" предмет
                  items_list. append((area[i-1], value[i-1]))
                  res -= value[i-1]   # отнимаем значение ценности от общей
                  a -= area[i-1]  # отнимаем площадь от общей
            
      selected_stuff = []

      # находим ключи исходного словаря - названия предметов
      for search in items_list:
            for key, value in stuffdict.items():
                  if value == search:
                        selected_stuff.append(key)
            
      return selected_stuff
    

Итак, мы нашли список:

        >>> stuff = get_selected_items_list(stuffdict)
>>> print(stuff)
['bike_stand', 'garbage_can', 'standing_lamp', 'chest_of_drawers',
'plant_3', 'plant_2', 'diner_table_with_chairs', 'bookshelf',
'armchair', 'table', 'desk', 'bed', 'couch_s']
    

Проверим суммарные площадь и ценность собранных предметов:

        >>> totarea = sum([stuffdict[item][0] for item in stuff])
>>> totvalue = sum([stuffdict[item][1] for item in stuff])
>>> print(totarea)
2000
>>> print(totvalue)
715
    

Получилось! Собираем вещи и отправляемся в путь (звучит песня Mamas & Paps – San Francisco).

***

Тепловая карта ниже отображает рассмотренную выше таблицу. По оси абсцисс отложена доступная площадь, по оси ординат – список предметов. Цветовая шкала соответствует суммарной ценности. Можно видеть, как значения возрастают по мере продвижения по таблице снизу вверх.

Для построения использовалась библиотека matplotlib:

        def plot_memtable(V, stuffdict):
    plt.figure(figsize=(30,15))
    item_list = list(stuffdict.keys())
    item_list.insert(0, 'empty')
    sns.heatmap(V, yticklabels=item_list)
    plt.yticks(size=25)
    plt.xlabel('Area', size=25)
    plt.ylabel('Added item', size=25)
    plt. title('Value for Area with Set of Items', size=30)
    plt.show()
    

А тем, кто следит за нашим сериалом головоломок, динамическое программирование также поможет решить текущую задачу (головоломку о беглеце).

Предложения по ускорению динамического программирования решения проблемы коммивояжера?

Я следую онлайн-курсу, в котором одним из заданий является реализация алгоритма динамического программирования для решения проблемы коммивояжера (TSP). Моя реализация Python работает для небольших случаев (~5 городов), но для применения ‘real’ из 25 городов она кажется очень медленной. Я ищу предложения, чтобы ускорить алгоритм.

Алгоритм описан в следующих выдержках:

Решение для динамического программирования также описано в разделе http://www.geeksforgeeks.org/travelling-salesman-problem-set-1/, где приведены дополнительные ссылки.

Постановка задачи задания такова:

Я реализовал псевдокод, используя объект pandas DataFrame для массива A . Поскольку наборы не хэшируются и не могут использоваться в качестве индексов, я вместо этого использовал кортежи, заботясь о том, чтобы отсортировать их, чтобы сделать их уникальными представлениями наборов. Вот код вместе с несколькими тестовыми случаями увеличения размера:

import functools
from itertools import combinations
import numpy as np
import pandas as pd
from cached_property import cached_property
import pytest


def powerset_list(s):
    '''Return a list of tuples representing all subsets of s'''
    return functools.reduce(lambda x, y: x + y, [list(combinations(s, r)) for r in range(len(s)+1)])


class Graph(object):
    def __init__(self, edges):
        self.edges = edges

    @cached_property
    def nodes(self):
        _nodes = set()
        for edge in self.edges:
            u, v, weight = edge
            _nodes.add(u)
            _nodes.add(v)
        return list(_nodes)

    @cached_property
    def W(self):
        '''Matrix of edge weights'''
        n = len(self. nodes)
        w = np.full((n, n), np.inf)
        np.fill_diagonal(w, 0)
        w = pd.DataFrame(w, index=range(1, n+1), columns=range(1, n+1))
        for edge in self.edges:
            u, v, weight = edge
            w.set_value(u, v, weight)
            w.set_value(v, u, weight)
        return w

    def tsp(self):
        '''Solve the traveling salesman problem using a dynamic programming method'''
        n = len(self.nodes)
        sets = [(1,) + x for x in powerset_list(range(2, n+1))]
        A = pd.DataFrame(np.full((len(sets), n), np.inf), index=sets, columns=range(1, n+1))
        A.set_value((1,), 1, 0)
        for m in range(2, n+1):
            for S in [(1,) + perm for perm in combinations(range(2, n+1), m-1)]:
                for j in set(S) - set([1]):
                    S_min_j = tuple(sorted(set(S) - set([j])))
                    A.set_value(S, j, min(A.get_value(S_min_j, k) + self.W.get_value(k, j) for k in S_min_j))
        return min(A.get_value(tuple(range(1, n+1)), j) + self. W.get_value(j, 1) for j in range(2, n+1))


@pytest.fixture
def edges_geeksforgeeks():
    '''Edges from the example graph on http://www.geeksforgeeks.org/travelling-salesman-problem-set-1/'''
    return [(1, 2, 10), (1, 3, 15), (1, 4, 20), (2, 3, 35), (2, 4, 25), (3, 4, 30)]

def test_tsp(edges_geeksforgeeks):
    graph = Graph(edges_geeksforgeeks)
    min_cost = graph.tsp()
    assert min_cost == 80


def dist(coord1, coord2):
    return np.linalg.norm(np.array(coord1) - np.array(coord2))

def edges_from_coords(filename):
    with open(filename) as f:
        coords = [tuple(map(float, line.split())) for line in f.read().splitlines()[1:]]
    nodes = list(range(1, len(coords) + 1))
    coords = dict(zip(nodes, coords))
    return [(comb[0], comb[1], dist(coords[comb[0]], coords[comb[1]])) for comb in combinations(nodes, 2)]

@pytest.mark.parametrize("test_input, expected", [("Hulburd_1.txt", 10.24), ("Hulburd_2.txt", 12.36), ("Hulburd_3.txt", 14.00)])
def test_Hulburd(test_input, expected):
    '''Test data supplied by Eric Hulburd on the course forum'''
    edges = edges_from_coords(test_input)
    graph = Graph(edges)
    min_cost = graph. tsp()
    assert np.around(min_cost, decimals=2) == expected

@pytest.fixture
def edges_cities():
    return edges_from_coords('tsp.txt')

@pytest.mark.skip(reason="This takes too long to run")
def test_tsp_cities(edges_cities):
    graph = Graph(edges_cities)
    min_cost = graph.tsp()
    print("The minimum cost rounded down to the nearest integer is {}".format(int(np.floor(min_cost))))


if __name__ == "__main__":
    pytest.main([__file__, "-s"])

Файлы, используемые в тестах, — это Hulburd_1.txt, Hulburd_2.txt, Hulburd_3.txt, а основной файл для фактического задания- tsp.txt . Проблема в том, что последний (пропущенный) тест с участием tsp.txt занимает слишком много времени.

Как я могу ускорить алгоритм? На форуме курса некоторые говорят, что они получили его для запуска в течение ~3 минут с использованием битовых масок и распараллеливания; другим предложением было упростить индексы массива, а не использовать кортежи.

python algorithm traveling-salesman np

это псевдокод динамического программирования для TSP (задача коммивояжера). я понял его оптимальную подструктуру, но я не могу понять, что делает код в красных скобках. я не прошу никого писать…

Я надеялся, что кто-то сможет объяснить, как работает код на этой странице: TSP-рекурсивный Псевдокод трудно интерпретировать, а подход динамического программирования делает его особенно трудным для…

Предположим, что у нас есть следующая проблема: Есть M находится на улице: p1,p2,…,pm (each place has a weight) где мы можем разместить k магазинов: s1,s2,…,sk (each store has a weight)….

Если динамическое программирование используется для получения некоторого оптимального решения задачи. Как вы реконструируете фактические шаги, которые ведут к этому решению? Например, в задаче 0-1…

После изучения этого вопроса я понял, что алгоритмы динамического программирования не могут быть использованы для решения проблемы рюкзака или подобных проблем с нецелым ограничением . Я прав насчет…

Я исследую, как подход к проектированию динамического программирования связан с лежащими в основе комбинаторными свойствами задач. Для этого я рассматриваю канонический пример проблемы обмена монет…

Если задача коммивояжера решается с помощью подхода динамического программирования, будет ли она обеспечивать возможное решение лучше, чем жадный подход? Я знаю, что с точки зрения оптимального…

Мне удалось решить проблему максимального подмассива с помощью динамического программирования, прежде чем рассматривать рекурсивную реализацию, однако, поскольку я борюсь с более сложными проблемами…

У меня есть путаница по поводу сложности выполнения динамического программирования. Всегда ли это будет O(n), если я использую парадигму динамического программирования для решения проблемы?

Можно ли решить какую-либо задачу динамического программирования с помощью рекурсии+запоминания вместо использования tabulation/iteration? или есть некоторые проблемы, где необходимо использовать…

Динамическое программирование в теории управления и теории вычислительных систем

                                     

2. Идея динамического программирования

Оптимальная подструктура в динамическом программировании означает, что оптимальное решение подзадач меньшего размера может быть использовано для решения исходной задачи. К примеру, кратчайший путь в графе из одной вершины обозначим s в другую обозначим t может быть найден так: сначала считаем кратчайший путь из всех вершин, смежных с s, до t, а затем, учитывая веса рёбер, которыми s соединена со смежными вершинами, выбираем лучший путь до t через какую вершину лучше всего пойти. В общем случае мы можем решить задачу, в которой присутствует оптимальная подструктура, проделывая следующие три шага.

  • Нахождение оптимального решения подзадач рекурсивно, проделывая такой же трехшаговый алгоритм.
  • Разбиение задачи на подзадачи меньшего размера.
  • Использование полученного решения подзадач для конструирования решения исходной задачи.

Подзадачи решаются делением их на подзадачи ещё меньшего размера и т. д., пока не приходят к тривиальному случаю задачи, решаемой за константное время ответ можно сказать сразу. К примеру, если нам нужно найти n!, то тривиальной задачей будет 1! = 1 или 0! = 1.

Перекрывающиеся подзадачи в динамическом программировании означают подзадачи, которые используются для решения некоторого количества задач не одной большего размера то есть мы несколько раз проделываем одно и то же. Ярким примером является вычисление последовательности Фибоначчи, F 3 = F 2 + F 1 {\displaystyle F_{3}=F_{2}+F_{1}} и F 4 = F 3 + F 2 {\displaystyle F_{4}=F_{3}+F_{2}} — даже в таком тривиальном случае вычисления всего двух чисел Фибоначчи мы уже посчитали F 2 {\displaystyle F_{2}} дважды. Если продолжать дальше и посчитать F 5 {\displaystyle F_{5}}, то F 2 {\displaystyle F_{2}} посчитается ещё два раза, так как для вычисления F 5 {\displaystyle F_{5}} будут нужны опять F 3 {\displaystyle F_{3}} и F 4 {\displaystyle F_{4}}. Получается следующее: простой рекурсивный подход будет расходовать время на вычисление решения для задач, которые он уже решал.

Чтобы избежать такого хода событий, мы будем сохранять решения подзадач, которые мы уже решали, и когда нам снова потребуется решение подзадачи, мы вместо того, чтобы вычислять его заново, просто достанем его из памяти. Этот подход называется мемоизацией. Можно проделывать и дальнейшие оптимизации — например, если мы точно уверены, что решение подзадачи нам больше не потребуется, можно выкинуть его из памяти, освободив её для других нужд, или если процессор простаивает и мы знаем, что решение некоторых, ещё не посчитанных подзадач, нам понадобится в дальнейшем, мы можем решить их заранее.

Подводя итоги вышесказанного можно сказать, что динамическое программирование пользуется следующими свойствами задачи:

  • перекрывающиеся подзадачи;
  • оптимальная подструктура;
  • возможность запоминания решения часто встречающихся подзадач.

Динамическое программирование обычно придерживается двух подходов к решению задач:

  • нисходящее динамическое программирование: задача разбивается на подзадачи меньшего размера, они решаются и затем комбинируются для решения исходной задачи. Используется запоминание для решений уже решенных подзадач.
  • восходящее динамическое программирование: все подзадачи, которые впоследствии понадобятся для решения исходной задачи просчитываются заранее и затем используются для построения решения исходной задачи. Этот способ лучше нисходящего программирования в смысле размера необходимого стека и количества вызова функций, но иногда бывает нелегко заранее выяснить, решение каких подзадач нам потребуется в дальнейшем.

Языки программирования могут запоминать результат вызова функции с определённым набором аргументов мемоизация, чтобы ускорить «вычисление по имени». В некоторых языках такая возможность встроена, а в некоторых требует дополнительных расширений C++.

Известны сериальное динамическое программирование, включённое во все учебники по исследованию операций, и несериальное динамическое программирование НСДП, которое в настоящее время слабо известно, хотя было открыто в 1960-х годах.

Обычное динамическое программирование является частным случаем несериального динамического программирования, когда граф взаимосвязей переменных — просто путь. НСДП, являясь естественным и общим методом для учёта структуры задачи оптимизации, рассматривает множество ограничений и/или целевую функцию как рекурсивно вычислимую функцию. Это позволяет находить решение поэтапно, на каждом из этапов используя информацию, полученную на предыдущих этапах, причём эффективность этого алгоритма прямо зависит от структуры графа взаимосвязей переменных. Если этот граф достаточно разрежен, то объём вычислений на каждом этапе может сохраняться в разумных пределах.

Одним из основных свойств задач, решаемых с помощью динамического программирования, является аддитивность. Неаддитивные задачи решаются другими методами. Например, многие задачи по оптимизации инвестиций компании являются неаддитивными и решаются с помощью сравнения стоимости компании при проведении инвестиций и без них.

Срочные решения задачи динамического программирования — ДП

Метод динамического программирования состоит в том, что оптимальное управление строится постепенно.

На этой странице сайта я научу вас решать текстовые задачи. Эти задачи решаются с помощью составления уравнения или системы уравнений. Если не получается, то остаётся найти опытного репетитора по математике из Москвы. Он поможет с решением задач ДП даже онлайн — дистанционно по интернету, скайпу — Skype, телефону, мобильнику и т.д. — и на экзамене тоже!

В начале 50-х годов прошлого века американский исследователь Репетитор Беллман привлек внимание к новому методу решения оптимизационных задач,
получившего название основного функционального уравнения динамического программирования, или основного рекуррентного уравнения Беллмана,
в основе которого лежит сведение данной задачи к последовательности однотипных, притом более простых задач.

В тех случаях, когда изучаемый процесс разворачивается во времени, такое расчленение на более простые задачи обусловлено хронологией процесса.

Однако и в тех случаях, когда фактор времени вообще не присутствует, часто оказывается возможным расчленение задачи на ряд более простых,
когда условия каждой следующей задачи зависят от результатов решения предыдущей.

Грубо говоря, оптимизационную задачу с неизвестными сводят к последовательности задач, решаемых по цепочке, причем в каждой из них участвует только часть неизвестных.

Метод, предложенный  Репетитором Беллманом, получил название метода динамического программирования.

Подводя в заключение итоги, напомним основные предпосылки метода ДП.

1. Рассматриваемая задача оптимизации интерпретируется как n-шаговый процесс управления.
2. Целевая функция процесса есть сумма целевых функций отдельных шагов.
3. Очередное состояние системы зависит только от предыдущего состояния и последнего звена управления.

Опишем также общую схему применения метода ДП.

1. Выбирается способ деления процесса управления на шаги.

2. Дается описание состояний и звеньев управления (т.е. проще говоря, разъясняется,
что будет пониматься под параметрами состояния и координатами управления).

3. Записываются уравнения состояний.

4. Определяется целевая функция отдельного шага и суммарная целевая функция всего процесса.

5. Вводятся в рассмотрение функции zк (условный оптимум эффективности) и ик(условное оптимальное управление на k-том шаге).

6. Пишутся уравнения Беллмана для функций Репетитора.

7. Решаются Репетитором последовательно уравнения Беллмана — от конца к началу — и находятся две последовательности функций (I) и (II).

8. Находится оптимальное уравнение для начального состояния по схеме (III).

Интересно, что умение решать математические задачи оказывает огромное влияние на общее умение решать задачи,
и тот, кто умеет решать эти задачи, сумеет решить и другие.

Вот полезная ссылка для тех, кто ищет хорошего репетитора по динамическому программированию

Видео Отзыв о репетиторе и учителе Алексее Эдуардовиче